Integrale nach dx^2 dsin(x)... < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Di 04.06.2019 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Berechnen sie folgende Integrale
a) [mm] \integral_{0}^{1}{x*dx^2}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{\pi}{e^x*dsin(x)}
[/mm]
c) [mm] \integral_{1}^{2}{x*dln(x} [/mm] |
Moin Moin,
hier fehlt mir ein Ansatz.
Mache ich hier eine Substitution... d.h. bspw. bei a) z = [mm] x^2 [/mm] ... ergibt das überhaupt Sinn?
Oder wie gehe ich vor?
Danke & Gruß!
[ Leider habe ich im Internet bisher nur Integrale nach dx bzw. nach dt usf. gefunden... ]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Di 04.06.2019 | | Autor: | chrisno |
Du wirst fündig unter dem Stichwort: "Stieltjesintegral"
(Ich habe ein wenig suchen müssen)
Für Deine Aufgaben ist eine einfache Übersetzung möglich,
denn in Wikipedia steht: "Ist h stetig differenzierbar so gilt:
[mm] $\int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm d}h(x)=\int _{a}^{b}f(x)h'(x)\,{\mathrm d}x$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Di 04.06.2019 | | Autor: | hase-hh |
Moin, erstmal vielen Dank!
Also ich verwende im Folgenden:
[mm] \int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm d}h(x)=\int _{a}^{b}f(x)h'(x)\,{\mathrm dx}
[/mm]
a) [mm] \integral_{0}^{1}{x dx^2} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{x*2x dx}
[/mm]
= [mm] [\bruch{2}{3}*x^3] [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{\pi}{e^x*dsin(x)} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi}{e^x*cos(x) dx}
[/mm]
= ... [mm] \approx [/mm] - 12,07
c) [mm] \integral_{1}^{2}{x*dln(x)} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{2}{x*\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
= [x] = 2 - 1 = 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Di 04.06.2019 | | Autor: | chrisno |
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Berechnen sie folgende Integrale
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> a) [mm]\integral_{0}^{1}{x*dx^2}[/mm]
>
> b) [mm]\integral_{0}^{\pi}{e^x*dsin(x)}[/mm]
>
> c) [mm]\integral_{1}^{2}{x*dln(x}[/mm]
> Moin Moin,
>
> hier fehlt mir ein Ansatz.
>
> Mache ich hier eine Substitution... d.h. bspw. bei a) z =
> [mm]x^2[/mm] ... ergibt das überhaupt Sinn?
>
Ja, und dann ist [mm] dz=dx^2. [/mm] nun musst du aber alles mit z ausdrücken, integrieren und zurücksubstituieren.
Es geht aber auch einfacher, wenn man das Leibnitz-Kalkül anwendet:
[mm] dx^2 [/mm] = [mm] \bruch{dx^2}{dx}*dx [/mm] = [mm] (x^2)'dx [/mm] =2x*dx.
Jetzt musst du nur noch aufpassen, was du mit den Integrationsgrenzen machst. Wenn [mm] x^2 [/mm] von 0 nach 1 läuft, läuft x ....
Analog: d sin(x) = [mm] \bruch{sin(x)}{dx}dx [/mm] = (sin(x))'dx = cos(x)dx.
Wenn der sinus von 0 bis [mm] \pi [/mm] läuft... tja, und nun hat sich der Aufgabensteller wohl vertan: Das kann der sinus gar nicht, der flattert nur zwischen -1 und 1 herum. Offenbar soll also wohl x von 0 bis [mm] \pi [/mm] laufen, aber dann sind die Grenzen falsch angegeben, denn sie beziehen sich immer auf den Ausdruck hinter dem d, hier also auf den sinus. Man könnte aber schreiben:
[mm]\integral_{x=0}^{x=\pi}{e^x*dsin(x)}[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Di 04.06.2019 | | Autor: | hase-hh |
Moin
>
> Wenn der sinus von 0 bis [mm]\pi[/mm] läuft... tja, und nun hat
> sich der Aufgabensteller wohl vertan: Das kann der sinus
> gar nicht, der flattert nur zwischen -1 und 1 herum.
> Offenbar soll also wohl x von 0 bis [mm]\pi[/mm] laufen, aber dann
> sind die Grenzen falsch angegeben, denn sie beziehen sich
> immer auf den Ausdruck hinter dem d, hier also auf den
> sinus. Man könnte aber schreiben:
>
> [mm]\integral_{x=0}^{x=\pi}{e^x*dsin(x)}[/mm].
>
Ich sehe absolut keinen Unterschied zwischen deiner Formulierung und der Aufgabenstellung
[mm] \integral_{0}^{\pi}{e^x*dsin(x)}.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Di 04.06.2019 | | Autor: | chrisno |
> ....
> Offenbar soll also wohl x von 0 bis [mm]\pi[/mm] laufen, aber dann
> sind die Grenzen falsch angegeben, denn sie beziehen sich
> immer auf den Ausdruck hinter dem d, hier also auf den
> sinus.
Da sehe ich eine Differenz zu der Notation, wie ich sie in WInkipedia finde.
Mit der Interpretation, dass h(x) ein Gewichtsfunktion ist, passt auch besser zusammen, dass die Integralgrenzen sich auf x beziehen, meine ich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Di 04.06.2019 | | Autor: | hase-hh |
> > ....
> > Offenbar soll also wohl x von 0 bis [mm]\pi[/mm] laufen, aber
> dann
> > sind die Grenzen falsch angegeben, denn sie beziehen sich
> > immer auf den Ausdruck hinter dem d, hier also auf den
> > sinus.
>
> Da sehe ich eine Differenz zu der Notation, wie ich sie in
> WInkipedia finde.
> Mit der Interpretation, dass h(x) ein Gewichtsfunktion
> ist, passt auch besser zusammen, dass die Integralgrenzen
> sich auf x beziehen, meine ich.
>
Damit ich das überhaupt verstehe.
Bei einem Integral [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] ist gemeint [mm] \integral_{x=a}^{x=b}{f(x) dx}, [/mm] richtig?
Bei einem Integral [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dh(x)} [/mm] ist gemeint
[mm] \integral_{h(x)=a}^{h(x)=b}{f(x) dh(x)}, [/mm] richtig?
Wenn das so ist, müssten sich dann bei Anwendung der Umformungsregel nicht auch die Grenzen verändern? Bisher bin ich davon ausgegangen, dass die Grenzen sich dadurch nicht verändern...!?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Di 04.06.2019 | | Autor: | chrisno |
> > > ....
> > > Offenbar soll also wohl x von 0 bis [mm]\pi[/mm] laufen, aber
> > dann
> > > sind die Grenzen falsch angegeben, denn sie beziehen sich
> > > immer auf den Ausdruck hinter dem d, hier also auf den
> > > sinus.
> >
> > Da sehe ich eine Differenz zu der Notation, wie ich sie in
> > WInkipedia finde.
> > Mit der Interpretation, dass h(x) ein Gewichtsfunktion
> > ist, passt auch besser zusammen, dass die Integralgrenzen
> > sich auf x beziehen, meine ich.
> >
>
> Damit ich das überhaupt verstehe.
>
> Bei einem Integral [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] ist gemeint
> [mm]\integral_{x=a}^{x=b}{f(x) dx},[/mm] richtig?
>
> Bei einem Integral [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dh(x)}[/mm] ist
> gemeint
> [mm]\integral_{h(x)=a}^{h(x)=b}{f(x) dh(x)},[/mm] richtig?
Das hängt davon ab, wessen Interpretation Du folgst.
Ich habe ja meine Meinung angemerkt, dass [mm]\integral_{x=a}^{x=b}{f(x) dh(x)}[/mm] gemeint ist.
>
> Wenn das so ist, müssten sich dann bei Anwendung der
> Umformungsregel nicht auch die Grenzen verändern? Bisher
> bin ich davon ausgegangen, dass die Grenzen sich dadurch
> nicht verändern...!?
Wenn Du mir und Wikipedia folgst, nicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:10 Mi 05.06.2019 | | Autor: | fred97 |
> > > > ....
> > > > Offenbar soll also wohl x von 0 bis [mm]\pi[/mm] laufen,
> aber
> > > dann
> > > > sind die Grenzen falsch angegeben, denn sie beziehen sich
> > > > immer auf den Ausdruck hinter dem d, hier also auf den
> > > > sinus.
> > >
> > > Da sehe ich eine Differenz zu der Notation, wie ich sie in
> > > WInkipedia finde.
> > > Mit der Interpretation, dass h(x) ein
> Gewichtsfunktion
> > > ist, passt auch besser zusammen, dass die Integralgrenzen
> > > sich auf x beziehen, meine ich.
> > >
> >
> > Damit ich das überhaupt verstehe.
> >
> > Bei einem Integral [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] ist gemeint
> > [mm]\integral_{x=a}^{x=b}{f(x) dx},[/mm] richtig?
>
> >
> > Bei einem Integral [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dh(x)}[/mm] ist
> > gemeint
> > [mm]\integral_{h(x)=a}^{h(x)=b}{f(x) dh(x)},[/mm] richtig?
> Das hängt davon ab, wessen Interpretation Du folgst.
Da gibts keine Interpretation. Diese Diskussion läuft ziemlich aus dem Ruder !
Die Integrationsgrenzen sind und bleiben a und b. Sehen wir uns mal das Beispiel a=0, b=1 und [mm] h(x)=x^2 [/mm] +200 an.
h(x)=0 und /oder h(x)=1 ist völliger Unsinn, denn h(x) [mm] \ge [/mm] 200 für alle x.
> Ich habe ja meine Meinung angemerkt, dass
> [mm]\integral_{x=a}^{x=b}{f(x) dh(x)}[/mm] gemeint ist.
>
> >
> > Wenn das so ist, müssten sich dann bei Anwendung der
> > Umformungsregel nicht auch die Grenzen verändern? Bisher
> > bin ich davon ausgegangen, dass die Grenzen sich dadurch
> > nicht verändern...!?
> Wenn Du mir und Wikipedia folgst, nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Mi 05.06.2019 | | Autor: | fred97 |
> > > ....
> > > Offenbar soll also wohl x von 0 bis [mm]\pi[/mm] laufen, aber
> > dann
> > > sind die Grenzen falsch angegeben, denn sie beziehen sich
> > > immer auf den Ausdruck hinter dem d, hier also auf den
> > > sinus.
> >
> > Da sehe ich eine Differenz zu der Notation, wie ich sie in
> > WInkipedia finde.
> > Mit der Interpretation, dass h(x) ein Gewichtsfunktion
> > ist, passt auch besser zusammen, dass die Integralgrenzen
> > sich auf x beziehen, meine ich.
> >
>
> Damit ich das überhaupt verstehe.
>
> Bei einem Integral [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] ist gemeint
> [mm]\integral_{x=a}^{x=b}{f(x) dx},[/mm] richtig?
Ja.
>
> Bei einem Integral [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dh(x)}[/mm] ist
> gemeint
> [mm]\integral_{h(x)=a}^{h(x)=b}{f(x) dh(x)},[/mm] richtig?
Nein !! Einer meiner Vorredner hat völlig unnötige Verwirrung angerichtet !
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> Wenn das so ist, müssten sich dann bei Anwendung der
> Umformungsregel nicht auch die Grenzen verändern? Bisher
> bin ich davon ausgegangen, dass die Grenzen sich dadurch
> nicht verändern...!?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:56 Mi 05.06.2019 | | Autor: | hase-hh |
Vielen Dank !!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:03 Mi 05.06.2019 | | Autor: | fred97 |
> > Berechnen sie folgende Integrale
> >
> > a) [mm]\integral_{0}^{1}{x*dx^2}[/mm]
> >
> > b) [mm]\integral_{0}^{\pi}{e^x*dsin(x)}[/mm]
> >
> > c) [mm]\integral_{1}^{2}{x*dln(x}[/mm]
> > Moin Moin,
> >
> > hier fehlt mir ein Ansatz.
> >
> > Mache ich hier eine Substitution... d.h. bspw. bei a) z =
> > [mm]x^2[/mm] ... ergibt das überhaupt Sinn?
> >
>
> Ja, und dann ist [mm]dz=dx^2.[/mm] nun musst du aber alles mit z
> ausdrücken, integrieren und zurücksubstituieren.
>
> Es geht aber auch einfacher, wenn man das Leibnitz-Kalkül
> anwendet:
Leibnitz ist eine Stadt in Österreich ....... ! Gottfried Wilhelm Leibniz dreht sich im Grabe um !
>
> [mm]dx^2[/mm] = [mm]\bruch{dx^2}{dx}*dx[/mm] = [mm](x^2)'dx[/mm] =2x*dx.
>
> Jetzt musst du nur noch aufpassen, was du mit den
> Integrationsgrenzen machst. Wenn [mm]x^2[/mm] von 0 nach 1 läuft,
> läuft x ....
>
>
> Analog: d sin(x) = [mm]\bruch{sin(x)}{dx}dx[/mm] = (sin(x))'dx =
> cos(x)dx.
>
> Wenn der sinus von 0 bis [mm]\pi[/mm] läuft... tja, und nun hat
> sich der Aufgabensteller wohl vertan: Das kann der sinus
> gar nicht, der flattert nur zwischen -1 und 1 herum.
Mit Verlaub, aber da flattert jede Menge Unsinn durch die Gegend !
Mit den Integrationsgrenzen muss gar nichts gemacht werden ! Da werden Regeln in die Diskussion geworfen, die es gar nicht gibt. So stiftet man völlig unnötige Verwirrung beim Fragesteller !
$ [mm] \int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm d}h(x)$ [/mm] ist ein Riemann - Stiltjes - Integral.
Ist f auf [a,b] stetig und h dort stetig differenzierbar so gilt:
$ [mm] \int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm d}h(x)=\int _{a}^{b}f(x)h'(x)\,{\mathrm d}x [/mm] $.
Punkt !
> Offenbar soll also wohl x von 0 bis [mm]\pi[/mm] laufen, aber dann
> sind die Grenzen falsch angegeben, denn sie beziehen sich
> immer auf den Ausdruck hinter dem d, hier also auf den
> sinus. Man könnte aber schreiben:
>
> [mm]\integral_{x=0}^{x=\pi}{e^x*dsin(x)}[/mm].
Hä ? In dieser Aufgabe waren doch von Anfang an die Integrationsgrenzen 0 und [mm] \pi [/mm] , was soll das ???
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