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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Robert |
Guten Abend,
Ich soll das untenstehende Integral mit der Substitution [mm] t = tan \bruch{x}{2}\, [/mm] berechnen.
[mm]\int_{0}^{\pi/2} \bruch{1}{2+sin x} \, dx[/mm]
Wenn ich nun t nach x umforme, bringt mich dies nicht weiter. Wie sollte ich an diese Aufgabe rangehen?
Vielen Dank schon mal :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Robert
> Guten Abend,
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> Ich soll das untenstehende Integral mit der Substitution [mm]t = tan \bruch{x}{2}\,[/mm]
> berechnen.
> [mm]\int_{0}^{\pi/2} \bruch{1}{2+sin x} \, dx[/mm]
>
> Wenn ich nun t nach x umforme, bringt mich dies nicht
> weiter. Wie sollte ich an diese Aufgabe rangehen?
>
Ja, da ist guter Rat teuer! 
Ich hoffe, du hast dabei erhalten: [mm]x=2\arctan{t}[/mm]
Daraus kannst du $dx$ berechnen.
Und hast du auch versucht, mit Hilfe von [mm]t= \tan\bruch{x}{2}[/mm] zu ergründen, was denn [mm] $\sin{x}$ [/mm] sein könnte?
Versuchs doch bitte mal!
Ich meinerseits habe z.B. mal [mm] $\cos{x}$ [/mm] berechnet und folgendes erhalten:
[mm] $\cos{x}=\bruch{1-t^{2}}{1+t^{2}}$
[/mm]
So, ich hoffe, jetzt kommst du ein Wenig weiter, vielleicht sogar bis zum Schluss? 
Liebe Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Do 27.05.2004 | | Autor: | Robert |
Ahh, verstehe - da muss man auch erstmal drauf kommen ;)
Ich hab da nun errechnet:
[mm]sin x = (\bruch{1-t^2}{1+t^2})*tanx =(\bruch{1-t^2}{1+t^2})*tan (2*arctan t)[/mm]
Wenn da die 2 bei tan 2arctant nicht stehen würde, wär es ja wunderbar aber so komme ich nicht weiter. Wie geht das?
Danke! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Do 27.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Robert,
nein, du solltest nicht Pauls Formel benutzen, sondern dies diente nur als Beispiel.
Leite es (zum Beispiel) so her:
[mm]\sin(x) = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})[/mm]
[mm] = 2 \frac{\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2}) + \sin^2(\frac{x}{2})}[/mm]
[mm]= 2 \frac{\tan(\frac{x}{2})}{1 + \tan^2(\frac{x}{2})}[/mm]
[mm]= 2 \frac{t}{1+t^2}[/mm].
Kommst du jetzt weiter?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Do 27.05.2004 | | Autor: | Robert |
Ahhh, verstehe - das andere sah eben so gut aus, dachte das ginge auch ;)
Ich rechne es mal so, danke schön!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Do 27.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Robert
das sieht nicht nur gut aus, es funktioniert sogar! -.)
Ich glaubte eigentlich, viel näher könnte man es nicht mehr auf die Nase binden!
Wenn ich dir doch schon den Cosinus angegeben habe, wie errechnet sich dann der Sinus?
Noch ein Tip (für die Gendarmerie-Aufnahmeprüfung):
[mm] $\sin^{2}{\alpha} [/mm] + [mm] \cos^{2}{\alpha} [/mm] = 1$
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Do 27.05.2004 | | Autor: | Robert |
Ja ich gebs ja zu, so richtig schwer wars denn nicht mehr ;)
Als Ergebnis hab ich nun:
[mm]\bruch{2}{\wurzel{3}}*\arctan \wurzel{3} - \bruch{2}{\wurzel{3}}*arctan \bruch{1}{\wurzel{3}} = 0,60[/mm]
Stimmt das so?
In Aufgabenteil b soll ich das gleiche mit den Grenzen 0 und [mm]\bruch{5*\pi}{2}[/mm] berechnen. Nur leider ist die 2te Grenze ja nicht einsetzbar - ist die Aufgabe damit nicht lösbar oder was mach ich hier?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Do 27.05.2004 | | Autor: | Robert |
Hmm ich hab meine Rechnung nochmal durchgeschaut und auf Anhieb keinen Fehler gefunden.
Also:
[mm]dx = \bruch{2}{1+t^2}[/mm] und des weiteren [mm]\sin x = \bruch{2*t}{1+t^2}[/mm] oder hab ich mir hier vertan?
Wenn ich dies denn einsetze, komm ich auf:
[mm]\int_{0}^{1} \bruch{1}{t^2+t+1}\, dx[/mm]
Stimmt das bis hierhin?
Bei der b hast du Recht, habe die x/2 vergessen. Hast du eine Erklärung, was dieser b Teil denn soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Do 27.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Robert
ja, das stimmt bis hierher.
Da habe ich bei mir einen Rechenfehler eingebaut! Sorry
(Ich hatte im Nenner [mm] $t^2+2t+1$)
[/mm]
Ich muss jetzt leider auf den Zug rennen, werde mich aber spaät abends nochmals melden!
Vielleicht hat sich bis dahin das Problem gelöst!
Bis später
Libe Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Do 27.05.2004 | | Autor: | Robert |
Ahh gut, da bin ich ja beruhigt dass das stimmt :)
Weitergerechnet habe ich mit einer Regel der Integration von Partialbrüchen. Und so kam ich auf meine Aufleitung von [mm]\bruch{2}{\wurzel{3}}*\arctan \bruch{2*t+1}{ \wurzel{3}}[/mm]
Diese Formel stammt aus dem Repetitorium der Höheren Mathematik von Merziger und Wirth.
Stimmt dies nun?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Robert |
Also ich hab mir mal folgendes überlegt:
Meine ursprünglichen Grenzen sind ja 0 und [mm]\bruch{5*\pi}{2}[/mm]. In diesem Bereich ist [mm]\tan x[/mm] nicht definiert bei [mm] \pi/2, [/mm] dh [mm] \tan \bruch{x}{2} [/mm] ist nicht definiert bei [mm] \pi. [/mm] Darum müssen wir das Integral aufteilen, von 0 bis [mm] \pi [/mm] und von [mm] \pi [/mm] bis [mm] \bruch{5*\pi}{2}. [/mm]
Wäre dies korrekt? Oder bin ich auf dem Holzweg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Robert!
> Meine ursprünglichen Grenzen sind ja 0 und
> [mm]\bruch{5*\pi}{2}[/mm]. In diesem Bereich ist [mm]\tan x[/mm] nicht
> definiert bei [mm] \pi/2, [/mm] dh [mm] \tan \bruch{x}{2} [/mm] ist nicht
> definiert bei [mm] \pi. [/mm] Darum müssen wir das Integral aufteilen,
> von 0 bis [mm] \pi [/mm] und von [mm] \pi [/mm] bis [mm] \bruch{5*\pi}{2}. [/mm]
> Wäre dies korrekt? Oder bin ich auf dem Holzweg?
Das Integral von $0$ bis [mm] $\pi$ [/mm] kannst du ja berechnen. Das Integral von [mm] $2\pi$ [/mm] bis [mm] $\frac{5}{2}\pi$ [/mm] ist ja gleich dem Integral von $0$ bis [mm] $\frac{1}{2} \pi$. [/mm] (Warum?)
Was aber machst du mit dem Integral von [mm] $\pi$ [/mm] bis [mm] $2\pi$? [/mm] Das ist mir noch nicht so ganz klar, was du da vorhast. Vielleicht kannst du es mir ja mal erklären?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Robert |
Irgendwie bin ich durch deine Antwort jetzt verwirrt ;)
Fangen wir mal von vorne an:
[mm]\tan x[/mm] ist ja nicht definiert bei [mm] \pi/2, [/mm] dies heisst doch dass unsere neue Grenze [mm]t=\tan\bruch{x}{2}[/mm] bei [mm] \pi [/mm] nicht definiert ist. Dies wiederrum würde doch bedeuten, dass ich mein Integral aufteilen muss und später die Grenzwerte betrachten.
Stimmt diese Überlegung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Robert
ja, ich denke, deine Ueberlegungen stimmen.
Wenn die Funktion nicht definiert ist, so kanst du immerhin noch den Grenzwert feststellen resp. beobachten, was denn mit der Funktion passiert, wenn du mal mutig über diese Stelle hinwegmarschierst. Ich denke, in unserem Falle strebt die Funktion nach [mm] $+\infty$, [/mm] springt nach [mm] $-\infty$ [/mm] und verhält sich wieder ganz normal
Was bedeutet dies nun für den [mm] $\arctan$? [/mm] Der ist ja nicht eindeutig! Da gibt es ja recht viele, parallel verlaufende Kurven auf dem Graphen, die sich um den Funktionswert [mm] $\pi$ [/mm] unterscheiden. Für dein Problem heisst das: untersuche, wieviel mal eine solcher "Sprung" von der einen parallelen Kurve zur nächsten stattfindet.
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Robert |
Also so ein Sprung findet doch bei [mm]\pi/2 + k*\pi[/mm] mit k = 0,1,2... statt?! Nur frage ich mich gerade, wie du auf den [mm]\arctan[/mm] kommst? Es geht doch um den [mm]\tan[/mm] oder?
Könntest du mir vielleicht erklären, wie man die Aufgabe nun fertig löst? Ich glaub, ich bin heut zu verwirrt durch die schöne Sonne ;) zumindest zweifel ich grad sehr, dass ich auf dem richtigem Weg bin.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Robert
wieso ich auf den [mm] $\arctan$ [/mm] komme?
Nun, weil die Stammfunkton doch ein [mm] $\arctan$ [/mm] ist!
Aber es gibt eben einen durch den Punkt $(0,0)$, dann aber auch einen durch [mm] $0,\pi)$, [/mm] einen ducht [mm] $(0,2\pi)$ [/mm] und so weiter.
Nun gilt doch die Regel, dass für das bestimmte Integral gilt: "Obere Grenze der Stammfunktion minus untere Grenze der Stammfunktion"
Auf dein Beispiel übertragen heisst es jetzt eben "obere Grenze des [mm] $\arctan$, [/mm] der durch [mm] $(0,\pi)$ [/mm] geht minus untere Grenze des [mm] $\arctan$, [/mm] der durch $(0,0)$ geht". (Einmal einen "Sprung" ausführen)
Ist jetzt alles klar, trotz sich anbahnendem Sonnenstich?
Liebe Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 So 30.05.2004 | | Autor: | Robert |
Ich dachte immer, der [mm] \arctan [/mm] sei eindeutig und würde nur durch 0,0 gehen - habe auch nochmal extra in Büchern nachgeschaut und dort nichts anderes gefunden.
Bist du dir hier ganz sicher? Falls ja, bin ich den Grundzügen meiner Mathekenntnisse erschüttert :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 So 30.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Robert
> Ich dachte immer, der [mm] \arctan [/mm] sei eindeutig und würde nur
> durch 0,0 gehen - habe auch nochmal extra in Büchern
> nachgeschaut und dort nichts anderes gefunden.
> Bist du dir hier ganz sicher? Falls ja, bin ich den
> Grundzügen meiner Mathekenntnisse erschüttert :D
>
Kein Grund zur Erschütterung!
Ich habe mich halt wieder einmal etwas unpräzise, ja sogar nicht ganz korrekt, ausgedrückt!
Es ist so: jede Funktion, die injektiv ist, hat eine Umkehrfünktion auf der Bildmenge der Funktion.
[mm] $\tan$ [/mm] ist aber nicht injektiv, weil ja gilt: [mm] $\tan (x+k\pi) [/mm] = [mm] \tan (x);\, k\in\mathbb{Z}$
[/mm]
Somit hat der Tangens an sich keine Umkehrfunktion.
Wenn man aber [mm] $\tan$ [/mm] auf das Intervall [mm] $]-\pi/2,+\pi/2[$ [/mm] einschränkt, dann hat diese Funktion sehr wohl eine Umkehrfunktion: [mm] $\arctan$.
[/mm]
Der [mm] $\arctan$ [/mm] ist per Definition die Umkehrfunktion der auf das Intervall [mm] $]-\pi/2,+\pi/2[$ [/mm] eingeschränkten $tan$-Funktion .
Ich habe aber in meinem Text eben nicht diese Einschränkung gemeint (sorry, hätte ich wohl erwähnen müssen, resp eine andere Funktionsbezeichnung nehmen sollen, obwohl, wie soll man eine Funktion denn bezeichnen, wenn diese ja streng genommen gar nicht existiert? ), sondern generell einfach den Graphen der Funktion $tan$ an der Hauptdiagonalen gespiegelt. Und dann ist auch ersichtlich, dass die Umkehrfunktion des [mm] $\tan$ [/mm] im Intervall [mm] $]\pi/2,3\pi/2[$ [/mm] eben [mm] $\arctan{}+\pi$ [/mm] ist, für den $tan$ eingeschränkt auf das Intervall [mm] $]3\pi/2,5\pi/2[$ [/mm] eben [mm] $\arctan{}+2\pi$ [/mm] ist und so weiter.
Diese Tatsachen müssen halt schon noch berücksichtigt werden, wenn man dann eben solche Substitutionen vornimmt, wie sie in deiner Aufgabe gefordert war!
Also nochmals: entschuldige bitte die Verwirrung, die ich angestiftet habe. Ich werde mich bessern, wenigstens bis zum nächsten Mal!
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mo 31.05.2004 | | Autor: | Robert |
So nachdem der Sonnenstich sich verzogen hat, kann ich mich wieder mit Mathe beschäftigen ;)
Nun gut, deine Antwort hat mich beruhigt ;) also muss ich zur richtigen Lösung der Aufgabe meine Stammfunktion in 3 Bereiche aufteilen und zum arctan [mm] k*\pi [/mm] dazu zählen? Oder wie würde man dies als Mathe Profi machen? ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Mo 31.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Robert
> So nachdem der Sonnenstich sich verzogen hat, kann ich mich
> wieder mit Mathe beschäftigen ;)
>
Schön!
> Nun gut, deine Antwort hat mich beruhigt ;) also muss ich
> zur richtigen Lösung der Aufgabe meine Stammfunktion in 3
> Bereiche aufteilen und zum arctan [mm] k*\pi [/mm] dazu zählen? Oder
> wie würde man dies als Mathe Profi machen? ;)
>
Nun, ich weiss jetzt nicht so auf Anhieb, warum du 3 Bereiche meinst.
(Vergiss das Halbe nicht! [mm] $t=\tan{\bruch{x}{2}}$)
[/mm]
Ich bin zwar kein Matheprofi, aber ich würde mir doch überlegen, welcher Bereich für den [mm] $\tan$ [/mm] denn da genommen wird. Wenn man [mm] $t=\tan{\bruch{x}{2}}$ [/mm] im Koordinatensystem einzeichnet und dann der x-Achse nachläuft, von $x=0$ bis [mm] $x=\bruch{5\pi}{2}$, [/mm] was ja deinen Integrationsgrenzen entspricht, so siehst du, dass du bei [mm] $x=\pi$ [/mm] zum 1. mal über einen Pol läufst, und dann bis [mm] $x=\bruch{5\pi}{2}$ [/mm] nicht mehr. Wir befinden uns also im "2. Intervall-Streifen", es muss also $k=1$ gesetzt werden, und die Umkehrfunktion ist [mm] $2\arctan [/mm] + [mm] 2\pi$. [/mm] Beachte hier: die Funktion ist [mm] $\tan{\bruch{x}{2}}$, [/mm] weshalb jetzt die Periodenlänge nicht mehr [mm] $\pi$ [/mm] ist, sondern [mm] $2\pi$. [/mm] Deshalb ist die Umkehrfunktion auch [mm] $x=2\arctan{t}+2k\pi$.
[/mm]
mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Di 01.06.2004 | | Autor: | Robert |
Gut gut!
Dann vielen Dank für deine Zeit und bis zum nächsten Matheproblem! ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Do 27.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Robert
da bin ich wieder!
Ich fahre am Besten hier weiter, denn dein Resultat stimmt ja! Wie gesagt, da habe ich mich vertan!
Nochmals: ich bitte um Verzeihung für meinen Fehler!
Liebe Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Do 27.05.2004 | | Autor: | Robert |
Servus Paulus!
Die Züge fahren bei Euch in der Schweiz aber langsam ;)
Gut, denn freu ich mich ja dass die Aufgabe soweit geklappt hat!
Siehst du denn irgendeinen Sinn darin, dass man die Grenzen verändert? Außer einem anderen Ergebnis ändert sich doch nichts oder?
Viele Grüße Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Do 27.05.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Robert!
>> Siehst du denn irgendeinen Sinn darin, dass man die
> Grenzen verändert? Außer einem anderen Ergebnis ändert sich
> doch nichts oder?
Ach ja? Was kommt denn raus?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Do 27.05.2004 | | Autor: | Robert |
Hmm, unsere neuen Grenzen sind ja auch 0 und 1, das Ergebnis bleibe also exakt gleich.
Muss hier irgendwie beachtet werden, dass der tan über den Bereich von 0 bis 5*pi/2 nicht definiert ist? Oder worin liegt der Sinn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Robert
Jetzt hast du irgendwie den falschen Strang erwischt, weshalb dir vermutlich Julius nicht mehr geantwortet hat. Ja, ich denke, du hast die Falle erkannt. Aber sie ist sie zu umgehen?
Liebe Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Robert |
Ich hab im anderen Strang weitergemacht - bitte siehe dort :)
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Ich glaube, so einfach wie du glaubst, ists nun offenbar doch wieder nicht. kannst du mal bitte deine ganze Lösung zeigen? Insbesondere würde mich deine Stammfunktion interessieren, incl. dem Weg, wie du sie erhalten hast.
![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]"){kind=small}
