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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{artanh(\wurzel{x})dx} [/mm] |
[mm] \integral_{}^{}{artanh(\wurzel{x})dx}
[/mm]
= 1 [mm] \integral_{}^{}{artanh(\wurzel{x})dx}
[/mm]
f(x) = x, f'(x) = 1, g(x) = artanh [mm] \wurzel{x}, [/mm] g'(x) = [mm] \bruch{1}{1-x} \bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-x)2\wurzel{x}}
[/mm]
I = x [mm] artanh\wurzel{x} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{x \bruch{1}{(1-x)2\wurzel{x}}dx}
[/mm]
= [mm] xartanh\wurzel{x} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}}{2-2x}dx}
[/mm]
= [mm] xartanh\wurzel{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}}{1-x}dx}
[/mm]
Int1 = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}}{1-x}dx}
[/mm]
ist es bis dahin richtig? wie mache ich nun weiter? ich habe es mit der Substitution [mm] \wurzel{x} [/mm] = u, x = [mm] u^{2}, [/mm] dx = 2udu versucht, jedoch ohne Erfolg... ich habe dort versucht im Zähler die Ableitung vom Nenner reinzubekommen, da bleibt bei mir dann jedoch jedes mal ein produkt über..
als Beispiel:
[mm] -\integral_{}^{}{\bruch{-2u}{1-u^{2}} u du}
[/mm]
hat jemand eine Idee wie die Aufgabe zu lösen ist?
lg und frohen restlichen 2.weihnachtstag
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Hallo Matthias,
> [mm]\integral_{}^{}{artanh(\wurzel{x})dx}[/mm]
> [mm]\integral_{}^{}{artanh(\wurzel{x})dx}[/mm]
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> = 1 [mm]\integral_{}^{}{artanh(\wurzel{x})dx}[/mm]
>
>
> f(x) = x, f'(x) = 1, g(x) = artanh [mm]\wurzel{x},[/mm] g'(x) =
> [mm]\bruch{1}{1-x} \bruch{1}{2\wurzel{x}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(1-x)2\wurzel{x}}[/mm]
>
> I = x [mm]artanh\wurzel{x}[/mm] - [mm]\integral_{}^{}{x \bruch{1}{(1-x)2\wurzel{x}}dx}[/mm]
>
>
> = [mm]xartanh\wurzel{x}[/mm] -
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}}{2-2x}dx}[/mm]
>
>
> = [mm]xartanh\wurzel{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}}{1-x}dx}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ist es bis dahin richtig?
Ja, das sieht gut aus soweit!
> wie mache ich nun weiter? ich
> habe es mit der Substitution [mm]\wurzel{x}[/mm] = u, x = [mm]u^{2},[/mm] dx
> = 2udu versucht, jedoch ohne Erfolg... ich habe dort
> versucht im Zähler die Ableitung vom Nenner reinzubekommen,
> da bleibt bei mir dann jedoch jedes mal ein produkt über..
Erst einmal würde ich das Minuszeichen noch aus dem Integral ziehen:
[mm] $...=x\cdot{}atanh(\sqrt{x})+\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{\sqrt{x}}{x-1} \ dx}$
[/mm]
Nun schauen wir das hintere Integral näher an
Da sieht mir doch dein obiger Substitutionsansatz [mm] $u:=\sqrt{x}$ [/mm] gut aus, oder?
Damit ist [mm] $\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, [/mm] also [mm] $dx=2\sqrt{x} [/mm] \ du=2u \ du$
Setzen wir das ein (bedenke [mm] $x=u^2$)
[/mm]
[mm] $...=\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{u}{u^2-1} \ 2u \ du}=\int{\frac{u^2}{u^2-1} \ du}=\int{\frac{u^2\red{-1+1}}{u^2-1} \ du}=\int{\left(1+\frac{1}{u^2-1}\right) \ du}=\int{1 \ du}+\int{\frac{1}{u^2-1} \ du}$
[/mm]
Für das letzte Integral mache eine Partialbruchzerlegung: [mm] $\frac{1}{u^2-1}=\frac{1}{(u+1)(u-1)}=\frac{A}{u+1}+\frac{B}{u-1}$ [/mm] ...
Dann hast du ne Summe ganz einfacher Integrale ...
>
> als Beispiel:
>
> [mm]-\integral_{}^{}{\bruch{-2u}{1-u^{2}} u du}[/mm]
siehe oben ... 
>
> hat jemand eine Idee wie die Aufgabe zu lösen ist?
>
> lg und frohen restlichen 2.weihnachtstag
>
Dir auch
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Fr 09.01.2009 | | Autor: | matzew611 |
vielen dank für eure antworten :) bin bisschen spät, aber ein danke sollte noch drin sein, hatte es letztens vergessen zu schreiben :)
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Areatangens Hyperbolicus
Logarithmusgesetz