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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Fr 03.10.2008 | | Autor: | ceepy |
Hallo
Ich habe eine Frage zu einem Integral, bei dem ich einfach nicht weiterkomme und zwar:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{x+1}{x^{3}+x^{2}+ x } dx}
[/mm]
Also ich dachte da eigentlich an eine Partialbruchzerlegung, aber im Nenner konnte ich nur das x rausziehen und dann nicht weiter Faktorisieren. Ich habs dann trotzdem mal mit der PBZ versucht, aber dann kamen zwei verschiedene Werte für A raus:
[mm] \bruch{A}{x} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x^{2} +x + 1}
[/mm]
Könnte mir da evtl. jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo
> Ich habe eine Frage zu einem Integral, bei dem ich einfach
> nicht weiterkomme und zwar:
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{x+1}{x^{3}+x^{2}+ x } dx}[/mm]
>
> Also ich dachte da eigentlich an eine
> Partialbruchzerlegung, aber im Nenner konnte ich nur das x
> rausziehen und dann nicht weiter Faktorisieren. Ich habs
> dann trotzdem mal mit der PBZ versucht, aber dann kamen
> zwei verschiedene Werte für A raus:
> [mm]\bruch{A}{x}[/mm] + [mm]\bruch{B}{x^{2} +x + 1}[/mm]
>
> Könnte mir da evtl. jemand helfen?
Zuerst kannst du den Zähler ja "auseinanderziehen", sodass du zwei Integrale dastehen hast. Beim ersten kannste dann gleich das x kürzen.
Beim zweiten Versuche es mal mit [mm]\bruch{A}{x} + \bruch{B + Cx}{x^{2} +x + 1}[/mm].
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Fr 03.10.2008 | | Autor: | ceepy |
Sowas habe ich zwas noch nie gesehen, dass man auch etwas anders in den Zähler schreiben kann, aber ich habs mal versucht:
[mm]\integral_{}^{}{ \bruch{x+1}{x^{3}+x^{2}+ x } dx}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{x^{2}+x+ 1 } dx}[/mm] + [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{x^{3}+x^{2}+ x } dx}[/mm]
Dann Partialbruch:
[mm] \bruch{Ax^{2}+Ax+A+Bx+Cx^{2}}{x(x^{2}+x+1)}
[/mm]
--> A=1, B=-1, C=-1
dann hab ich da stehen:
[mm] \bruch{1}{x}+ \bruch{-1}{x^{2}+x+1}-\bruch{x}{x^{2}+x+1}
[/mm]
und damit eigentlich wieder das gleiche problem. Meine Lösung bestände jetzt darin, dass ich die beiden zweiten Teile in der Formelsammlung nachschau und da die sehr lange Lösung mit arctan usw. abschreib. Gehts auch anders? Und muss man bei einem polynom hoch 2 immer bei der PBZ C+Bx in den Zähler schreiben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Irgendwo hast du dich da verrechnet!
Wenn du den mittleren Summanden streichst, stimmt es.
Und ja, es läuft dann öfter auch mal auf Arkustangenssachen hinaus, da kann man auch (meines Wissens) nicht viel gegen machen. Außer sich das Wissen und die Herleitung darüber anzueignen, sodass man das beruhigt benutzen kann :)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Fr 03.10.2008 | | Autor: | ceepy |
die letzte Zeile war auch bloß das Ergebnis von der PBZ und nicht von allem... also kürzt sich der mittlere Teil noch mit dem Teil vom Anfang. Dann hat man nur noch den linken und rechten Sumanden zu integrieren.
Stimmt =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Sowas habe ich zwas noch nie gesehen, dass man auch etwas
> anders in den Zähler schreiben kann
Das ist aber eigentlich standard bei der PBZ, denn anders kommt man zu keiner Lösung.
Kannst ja Wikipedia mehr dazu lesen: ![[]](/images/popup.gif) Link.
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