Integralberechnung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Moe007 |
hallo
ich hab hier ein paar Integrale zu berechnen und weiss nicht genau, ob das richitg ist, was ich herausbekommen hab. Kann jemand mir bitte, weiter helfen?
Zu berechnen ist:
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {tanh(x) dx} = [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] { [mm] \bruch{sinh(x)}{cosh(x)} [/mm] dx} =
[ log(cosh(x))] (grenze von 0 bis 1) = log cosh(1) - log cosh(0) = log ( [mm] \bruch{ e^{2}+1}{2e} [/mm] - 0= log [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + log( [mm] e^{2}+1)-1= [/mm] log [mm] \bruch{ e^{2}+1}{2}-1
[/mm]
Ist das richitg? kann man das ergebnis noch vereinfachen? Ich hoffe. es rechnet einer nach und kommt auf das gleiche ergebnis wie ich. danke.
Bei diesem Integral hatte ich mehr problem a [mm] \in [/mm] ]0,1[
[mm] \integral_{0.5}^{a} [/mm] { [mm] \bruch{1}{ \wurzel{x- x^{2}}}dx}=........................(hier [/mm] folgen schritte mit quadratischer ergaenzung unten im nenner und umformung)=
[mm] 2\integral_{0.5}^{a} [/mm] { [mm] \bruch{1}{ \wurzel{1-(2(x- \bruch{1}{2}))^{2}}}dx}
[/mm]
= [2 arcsin(2x-1)] grenzen von 0.5 bis a = 2 arcsin(2a-1)
Ist das richitig? Ich hab mich voll oft verrechnet und bin dann auf dieses ergebnis gekommen. Ich bitte um korrektur, falls etwas falsch ist.
danke
Moe007
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Mi 26.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] {tanh(x) dx} = [mm]\integral_{0}^{1} { \bruch{sinh(x)}{cosh(x)} dx} = [/mm]
> [ log(cosh(x))] (grenze von 0 bis 1) = log cosh(1) - log
> cosh(0) = log ( [mm]\bruch{ e^{2}+1}{2e}[/mm] - 0= log
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + log( [mm]e^{2}+1)-1=[/mm] log [mm]\bruch{ e^{2}+1}{2}-1
[/mm]
>
>
> Ist das richitg? kann man das ergebnis noch vereinfachen?
> Ich hoffe. es rechnet einer nach und kommt auf das gleiche
> ergebnis wie ich. danke.
das stimmt! vereinfachen? das ist wohl geschmacksache: ich hätte das ergbnis als [m] -\ln 2 + \ln(\textrm{e}^{-1} + \textrm{e}) [/m] dargestellt, aber ob das wirklich einfacher ist?
> Bei diesem Integral hatte ich mehr problem a [mm]\in[/mm] ]0,1[
>
> [mm]\integral_{0.5}^{a}{ \bruch{1}{ \wurzel{x- x^{2}}}dx}=........................(hier[/mm]
> folgen schritte mit quadratischer ergaenzung unten im
> nenner und umformung)=
> [mm]2\integral_{0.5}^{a} { \bruch{1}{ \wurzel{1-(2(x- \bruch{1}{2}))^{2}}}dx}
[/mm]
>
> = [2 arcsin(2x-1)] grenzen von 0.5 bis a
> arcsin(2a-1)
Richtig muss es heissen:
[mm]\int\limits_{0,5}^a {\frac{1}
{{\sqrt {x\; - \;x^2 } }}\;dx\; = \;\left[ {\arcsin (2x - 1)} \right]_{0.5}^a \; = \;\arcsin (2a - 1)} [/mm]
Der Wert, der herauskommt stimmt.
grüße
andreas
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