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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Fr 10.01.2014 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
ich möchte gerne das Integral [mm]\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-x}dx[/mm] berechnen (sofern existent) bzw. nach oben abschätzen.
Hätte jemand einen Tipp?
Eigentlich steht da ja [mm] $\Gamma(0)$, [/mm] aber an der Stelle 0 hat ja [mm] $\Gamma$ [/mm] ne Polstelle...
LG
Fry
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Hallo Fry,
hier geht doch der "Standardtrick" bei uneigentlichen Integralen.
> ich möchte gerne das Integral
> [mm]\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-x}dx[/mm] berechnen (sofern
> existent) bzw. nach oben abschätzen.
> Hätte jemand einen Tipp?
> Eigentlich steht da ja [mm]\Gamma(0)[/mm], aber an der Stelle 0 hat
> ja [mm]\Gamma[/mm] ne Polstelle...
Berechne halt [mm] \lim_{a\to 0}\integral_{a}^{\infty}\frac{1}{x}e^{-x}dx, [/mm] bzw. schätze das ab.
Unter Umständen ist es noch hilfreich, das Integral bei x=1 zu teilen.
Grüße
reverend
Grüße
reverend
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Hallo,
kleine Ergänzung:
Das Integral zu berechnen, ist kaum möglich, eine Stammfunktion lässt sich mit elementaren Funktionen nicht angeben ...
Die in der anderen Antwort gegebene Idee, das Integral zu schreiben als
[mm]\int\limits_{0}^1{\frac{1}{x}e^{-x} \ dx} \ + \ \int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{x}e^{-x} \ dx}[/mm]
ist schon die halbe Miete.
Das erste Integral divergiert schon gegen [mm]\infty[/mm], das kannst du sehr leicht abschätzen.
Das andere interessiert dann nicht mehr, denn [mm]f(x)=\frac{1}{x}e^{-x}>0[/mm] für alle [mm]x\ge 0[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
schau mal hier, wie hässlich das ist ...
http://mathworld.wolfram.com/ExponentialIntegral.html
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Fr 10.01.2014 | | Autor: | Fry |
Huhu,
danke für eure Antworten,
also ich hab dann folgende Abschätzung gemacht:
[mm]\int_{0}^{1}\frac{1}{x*e^x}dx\ge \int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx=-\lim_{a\to 0}ln(x)=\infty[/mm].
LG
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Hallo nochmal,
> Huhu,
>
> danke für eure Antworten,
>
> also ich hab dann folgende Abschätzung gemacht:
>
> [mm]\int_{0}^{1}\frac{1}{x*e^x}dx\ge \int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx=-\lim_{a\to 0}ln(x)=\infty[/mm].
Du willst also im fraglichen Bereich [mm]e^{-x}[/mm] durch 1 abschätzen, also [mm]e^{-x}\ge 1[/mm] haben.
Ob das mal richtig ist?
Mit [mm]0
Passt also nicht ...
Nimm einen Bruch [mm]\le e^{-1}[/mm] für die Abschätzung ...
Ansonsten ist das der Weg!
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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