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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Mi 28.11.2007 | | Autor: | bliblub |
Berechne das Integral.
Ich bitte euch diese Aufgaben zu kontrolieren auf das richtige Ergebnis komme ich leider nicht laut Lösung. (allerdings muss ich immer dazu sagen dass die Lösungen die im Buch mitgeliefert werden teilweise auch nicht stimmen deswegen bitte sehr genau gucken)
[mm] \integral_{-2}^{1}{f(x) dx} (1/5x^4 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] + 1) dx
gefundene Stammfunktion F(x)= [mm] (1/25x^5 -1/3x^3 [/mm] +1x)
= (1/25 [mm] \*(1)^5 [/mm] - 1/3 [mm] \* (1)^3 [/mm] + 1 [mm] \* [/mm] (1)) - (1/25 [mm] \* (-2)^5 [/mm] - [mm] 1/3\*(-2)^3 +1\* [/mm] (-2))
= 53/75 - (-46/75)
= 99/75 rauskommen muss aber laut lösung -117/25 (muss aber auch nicht zwingend richtig sein)
Fehler die ich bei mir vermute ....1.das Fehlen der Betragsstriche bei der negativen zweiten klammer...(Muss ich nur bei der Flächenberechnung betragsstriche setzen oder auch im Integral?)
2. evtl falsche Stammfunktion.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo bliblub,
> Berechne das Integral.
> Ich bitte euch diese Aufgaben zu kontrolieren auf das
> richtige Ergebnis komme ich leider nicht laut Lösung.
> (allerdings muss ich immer dazu sagen dass die Lösungen die
> im Buch mitgeliefert werden teilweise auch nicht stimmen
> deswegen bitte sehr genau gucken)
>
[mm] >\integral_{-2}^{1}{(1/5x^4-\red{3}x^2+1)dx}
[/mm]
>
> gefundene Stammfunktion [mm] F(x)=1/25x^5-\red{3}*1/3x^3+1x
[/mm]
hier fehlt(e) der Faktor, den ich dir rot markiert habe.
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Mi 28.11.2007 | | Autor: | bliblub |
so dann wären das ja F(x)= [mm] (1/25x^5 [/mm] - [mm] 3/3x^3 [/mm] +1x)
= (1/25 [mm] \* (1)^5 [/mm] - 3/3 [mm] \* (1)^3 [/mm] +1 [mm] \* [/mm] (1)) - (1/25 [mm] \* (-2)^5 [/mm] - 3/3 [mm] \*(-2)^3 [/mm] +1 [mm] \* [/mm] (-2)
= (0.4 - 1 +1 ) - ( -1.28 -8 -2)
= 0.4 - 4.72
= -4.32 = -108/25 das wär schon näher an der "lösung" die wiegesagt auch falsch sein kann ist das jetzt so richtig?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:18 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, lese dir mal bitte meinen anderen Post durch, so kann dein Ergebnis auf keinen Fall stimmen, du erhälst immer ein positives Ergebnis, liegt ein Flächenstück unterhalb der x-Achse, so setze es in Betragsstriche,
Steffi
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:27 Mi 28.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Steffi und ihr anderen
Um ein Integral zu berechnen muss man sich NICHT um die Nullstellen kümmern. Ein Integral von a bis b kann positiv, negativ oder 0 sein.
Was ihr verwechselt: WENN man das Integral benutzt, um die Fläche zwischen Graph einer Funktion und der x- Achse zu berechnen, dann kommt der Flächeninhalt unterhalb der x- Achse negativ raus. Deshalb muss man in diesem Fall die Teile mit f(x)<0 und die mit f(x)>0 getrennt berechnen.
Aber es ist ein großer Unterschied zwischen dem Wert eines Integrals und der Fläche die x- Achse und Graph der Funktion einschliessen.
In den meisten Fällen interessierrt nicht der Flächeninhalt, sondern genau die "unendliche Summe" wobei die negativen Summanden negativ sind.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Mi 28.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> so dann wären das ja F(x)= [mm](1/25x^5[/mm] - [mm]3/3x^3[/mm] +1x)
>
> = (1/25 [mm]\* (1)^5[/mm] - 3/3 [mm]\* (1)^3[/mm] +1 [mm]\*[/mm] (1)) - (1/25 [mm]\* (-2)^5[/mm]
> - 3/3 [mm]\*(-2)^3[/mm] +1 [mm]\*[/mm] (-2)
>
> = (0.4 - 1 +1 ) - ( -1.28 -8 -2)
1. [mm] -(-2)^3=+8
[/mm]
1/25=0,04! Besser:1/25+32/25-8+2=33/25-6=33/25-150/25=-117/25
Du rechnest ein bisel zu schnell und leichtsinnig. 2 Minuten langsamer bringt meist 10 Min. Zeitersparnis!
>
> = 0.4 - 4.72
>
> = -4.32 = -108/25 das wär schon näher
> an der "lösung" die wiegesagt auch falsch sein kann ist das
> jetzt so richtig?
Wie du siehst nein
Gruss leduart
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Hallo, die richtige Stammfunktion hast du jetzt, beachte unbedingt, im Intervall von -2 bis 1 hast du 2 Nullstellen, du mußt also berechnen:
-2 bis 1. Nullstelle im Intervall
1. Nullstelle im Intervall bis 2. Nullstelle im Intervall
2. Nullstelle im Intervall bis 1
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Mi 28.11.2007 | | Autor: | bliblub |
ohhhhh neeieeeeein nullstellen zu überprüfen hab ich bisher total außer acht gelassen und weiß auch nicht mehr so recht wie da die genauen berechnungsschritte sind.
bei der original also nicht bei der stammfunktionen wären nullstellen bei
-3.828696, -0,5840287 , 0.58402865 , 3,8286957 laut Grafiktaschenrechner
ich hätte also 4 nullstellen wenn ich die funktion richtig eingetippt habe? oder muss ich die Stammfunktion eintippen? Ist das richtig?
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Hallo, die Nullstellen hast du ja nun, davon interessieren dich für deine Aufgabe aber nur 2, berechnen kannst du die Nullstellen über Substitution, [mm] x^{2}=z, [/mm] jetzt hast du eine quadratische Gleichung in z, lösen, dann Rücksubstitution,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mi 28.11.2007 | | Autor: | bliblub |
Aber muss ich auf die Nullstellen nicht NUR bei der Flächenberechnung achten? Hier heißt es doch einfach "Berechne das Integral" mehr ist im Arbeitsauftrag nicht verlangt...........Das heißt beim einfachen Integral ausrechnen UND bei der Flächenberechnung MUSS ich jedes mal die Nullstellen beachten?
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Hallo!
Hier musst du natürlich auch die nullstellen beachten. Das Integral berechnen mit deinen Grenzen ist ja nichts anderes als "Flächenberechnung". Zumal du ja auch hier eine negative untersumme und eine positive untersumme hast. Setze auch betragsstriche. Das ist NIE falsch. am ende solltest du [mm] \bruch{117}{25} [/mm] = 4,68 herausbekommen :)
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mi 28.11.2007 | | Autor: | bliblub |
Sehe ich das jetzt richtig dass wenn ich bei der Funktion KEINE nullstellen finde ich das integral normal berechne zb bei einem integral von
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] F (b) - F(a)
und wenn ich angenommen 2 nullstellen zb : 1 und -1 habe muss ich bei einem integral wie hier ......
[mm] \integral_{2}^{-2}{f(x) dx} [/mm] einmal quasi für die
Obersumme:
[mm] \integral_{1}^{-2}{f(x) dx}
[/mm]
und für die Untersumme:
[mm] \integral_{2}^{-1}{f(x) dx} [/mm] einsetzen? (das sind jetzt ausgedachte zahlen hat nix mit der aufgabe zu tun.
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Hallo bliblub,
du musst sogar noch mehr berechnen:
von -2 bis -1
von -1 bis 1
und
von 1 bis 2
Mach dir doch einmal eine Skizze von einer Funktion mit 2 Nullstellen. Du erhältst in einem Intervall, das über die Nullstellen hinaus geht, dann drei Flächenstücke.
Viele Grüße
Adamantan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mi 28.11.2007 | | Autor: | bliblub |
Hm ich würde jetzt vorschlagen um nicht an dieser Aufgabe hängen zu bleiben dass ihr mir bitte ein Integral zum berechnen gebt (mit Nullstellen die ich beachten muss) Ich würde euch dann jeden Arbeitsschritt den ich mache erklären. Bisher bin ich soweit:
1.Funktion in den GTR eingeben (Nullstellen berechnen falls vorhanden)
2. Stammfunktion finden
Zusatzfragen zum Verständnis angenommen ich habe das Integral:
[mm] \integral_{5}^{-5}{f(x) dx} [/mm]
Funktion ist jetzt egal einfach nur das Integral vorstellen bitte........
FALLS ich keine Nullstellen bei der Funktion habe rechne ich einfach
Obersumme mit -5 und Untersumme mit 5..........setze die Zahlen jeweils für x ein und muss mir nicht großartig Sorgen machen? ist das bisher richtig?
Falls ich aber Nullstellen habe (BSP 1 und -1) setze ich dann für Integral
[mm] \integral_{5}^{-5}{f(x) dx} [/mm]
für die Obersumme beim berechnen dann [mm] \integral_{5}^{1}{f(x) dx} [/mm] ein?
und für die Untersumme dementsprechend.. [mm] \integral_{-1}^{-5}{f(x) dx} [/mm]
oder ist das verkehrt? und wie sieht es bei Funktionen aus die nur eine Nullstelle hat oder mehr als 2?
ich kann mir sowas am besten an einem fertig gerechneten Beispiel verdeutlichen wo Pfeile sind die genau zeigen wo wann was ist .......
Könntet ihr mir den Gefallen tun und mir ein fertig gerechnetes Integral mit keinen , einer , zwei und mehr Nullstellen zeigen? Die Rechnung sollte wenn es keine Umstände macht ausführlich und gut beschrieben sein . Ich weiß dass das jetzt ne Menge Arbeit ist aber ich hab noch den gaaaaanzen Tag Zeit und ich brauch echt fertig gerechnete Beispiele um alle Fragen auszumärzen...........Ich danke euch vorab schonmal für eure Mühen.
Gruß Dennis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Mi 28.11.2007 | | Autor: | bliblub |
okay kein problem dann bitte ich euch mir eine beispielfunktion zu berechnen (bitte eine funktion die 3 verschiedene flächen hat eine über der x achse und 2 unter der x achse.
Ich hab ja jetzt gehört dass die integralberechnung nichts anderes ist als eine flächenberechnung...
Aber das verwirrt mich jetzt was rechne ich denn nun mti dem Integral aus und was mit der Flächenberechnung? wenn die berechnung eines integrals doch nix anderes ist als "Flächenberechnung?"
auf jeden fall beruhigt es mich schonmal zu wissen dass das was in der frage vorher war richtig ist ist es doch oder ? ich meine das hier :
> Falls ich aber Nullstellen habe (BSP 1 und -1) setze ich
> dann für Integral
>
> $ [mm] \integral_{5}^{-5}{f(x) dx} [/mm] $
>
> für die Obersumme beim berechnen dann
> $ [mm] \integral_{5}^{1}{f(x) dx} [/mm] $ ein?
>
> und für die Untersumme dementsprechend..
> $ [mm] \integral_{-1}^{-5}{f(x) dx} [/mm] $
die Begriffe Ober- und Untersumme haben eine andere Bedeutung, aber ich weiß, was du meinst
aber wofür wird jetzt der begriff ober untersumme verwendet? wie heißt es richtig mit dem "ich weiß was du meinst"
ps was zwischen 1 und -1 kann ich dir nicht sagen ich hab dazu keine konkrete funktion gehabt hab mir nur als beispiel etwas ausgedacht......
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Wutzi |
GUUUUUUDE,
hier ist mal eine Beispielaufgabe:
[mm] \int_{-4}^{1} x^3+3x^2+2x\, [/mm] dx
als erstes musst du die Nullstellen errechnen:
Man sieht leicht: [mm] x_1=0 [/mm] mit Polynomdivision und raten kommt man auf: [mm] x_2=-1 [/mm] und [mm] x_3=-2
[/mm]
Nun musst du das Integral in viele kleine zersägen:
[mm] \int_{-4}^{1} x^3+3x^2+2x\, [/mm] dx = [mm] \int_{-4}^{-2}x^3+3x^2+2x \, [/mm] dx + [mm] \int_{-2}^{-1}x^3+3x^2+2x \, [/mm] dx + [mm] \int_{-1}^{0}x^3+3x^2+2x \, [/mm] dx + [mm] \int_{0}^{1}x^3+3x^2+2x \, [/mm] dx
Nun musst du die Stammfunktion errechnen, die ist hier : F(x) = [mm] 1/4x^4+x^3+x^2
[/mm]
Nun musst du für jedes der 4 Integrale die Obergrenze und die Untergrenze einsetzen und subtrahieren:
[mm] \int_{-4}^{1} x^3+3x^2+2x\, [/mm] dx = (0 - 16) + (1/4 - 0) + (0 - 1/4) + (9/4 - 0) = -16 + 0,25 - 0,25 + 2,25 = -13,75
Ich hoffe das hat geholfen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Do 29.11.2007 | | Autor: | bliblub |
aber ich muss doch noch den betrag am ende setzen? das ergebnis darf nicht negativ sein also die fläche?
Darf denn die Rechnung negativ sein?
hab dasselbe raus wie du (0 -16) + (1/4 - 0) + (0 - 1/4) + (9/4 - 0)
muss ich nicht dann wenn ich die erste klammer ausrechne ?
betrag -16
dann wären das +16 + 0.25 + ( wieder betrag -0.25 also doch ! "0.25"!!!) + 9/4
dann wären das 16 + 0.25 + 0.25 + 9/4 = 18.75 ?
warum bleibt die -16 einfach negativ? oder die -0.25? im beispiel? Ich denk bei den negativen ergebnissen muss ich beträge setzen damit die positiv werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Do 29.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo bliblub!
Du hast Recht: wenn Du den Flächeninhalt zwischen Kurve und der x-Achse im angegebenen Intervall berechnen willst, musst Du von den Teilintegralen jeweils den Betrag nehmen und aufaddieren.
Die negativen Werte geben lediglich an, dass die entsprechenden Teilflächen unterhalb der x-Achse liegen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Do 29.11.2007 | | Autor: | bliblub |
Also stimmt mein ergebnis was ich stattdessen ausgerechnet habe?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Do 29.11.2007 | | Autor: | bliblub |
18.75 wäre dann also richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Do 29.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo bliblub!
Du hast Dich da irgendwo verrechnet. Das Ergebnis lautet: $A \ = \ [mm] 18.\red{2}5$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Mi 28.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bitte lies meine Korrektur zu Steffis Beitrag.
War deine Aufgabe das Integral zu berechnen oder die Fläche zwischen Kurve und x- Achse?
Obersumme und Untersumme sind Begriffe, die man bei der Herleitung des Integrals als endliche Summe benutzt. Was du hier meinst: du setzt die obere Grenze in die Stammfkt. ein und ziehst dann die Stammfkt an der unteren Grenze ab.
Das ist nix mit Ober und Untersumme.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Mi 28.11.2007 | | Autor: | bliblub |
Hallo Leduart.......
Gut dass ich jetzt noch online bin und das sehe. Es ging als allererstes um die Frage wie man ein Integral berechnet und nicht wie man eine Fläche berechnet ABER lass bitte die Beispielaufgabe die ganz unten steht stehen im weiteren Verlauf meiner Fragen ging es nämlich darum wie man die Fläche berechnet und das hat derjenige der mir die Bsp Aufgabe gegeben hat super erklärt hab die Aufgabe auch nochmal allein gerechnet und hab alles verstanden!! 
Mir geht es schlussendlich nur darum wie man jetzt genau ein Integral berechnet (jetzt nicht den Flächeninhalt einfach nur das Integral)
Das mit dem Ausrechnen des Flächeninhalts habe ich jetzt verstanden.
Ich schreibe am Freitag eine Klausur....und jetzt bin ich wenigstens schonmal auf das Ausrechnen des Flächeninhalts gut vorbereitet....Ich werde ich entweder im Laufe des Abends oder morgen ab 16 uhr spätetestens wieder im Forum online sein um Unsicherheiten zum finden komplizierterer Stammfunktionen zu klären
z.b welche wo man die kettenregel und substitution anwenden muss "würg"
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