Integral zweier Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 So 11.06.2006 | | Autor: | Mystoph |
| Aufgabe | | Sei Q [mm] \subset \IR^n [/mm] ein Quader und f, g : Q [mm] \to \IR [/mm] beschränkte, integrierbare Funktionen, die überall bis auf einen Punkt übereinstimmen. Beweisen Sie, dass [mm] \integral_{Q}^{}{f}=\integral_{Q}^{}{g} [/mm] |
Hallo zusammen,
mein Ansatz zu obiger Aufgabe ist relativ simpel, deshalb wollte ich hier nachfragen, ob das wirklich so einfach zu lösen ist, oder ob ich hier etwas durcheinander bringe...
Also um zu zeigen, dass das Integral beider Funktionen gleich ist, genügt doch zu zeigen, dass die Punkte (hier: Der Punkt) an dem die Funktionen nicht übereinstimmen eine Nullmenge sind.
Und wie zeig ich (wenn meine Vermutung denn stimmt) dass dieser Punkt hier eine Nullmenge ist? Ist meiner Meinung nach ziemlich offensichtlich, da Q Quader und P Punkt...?
Vielen Dank für eine Antwort oder Hinweise!
Gruss Christoph
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder sonst wo im Internet gestellt!
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Hallo!
Der Trick dürfte wohl sein, den Quader $Q$ in immer kleinere Quader zu zerlegen. Bezeichne zunächst mal mit [mm] $p\in [/mm] Q$ den Punkt, an dem [mm] $f(p)\ne [/mm] g(p)$. Jetzt kannst du zum Beispiel ein Art Invervallschachtelung - oder vielmehr "Quaderschachtelung" - machen:
Setze [mm] $Q_0:=Q$.
[/mm]
Sei nun [mm] $Q_n$ [/mm] mit [mm] $p\in Q_n$, $\int [/mm] _Q [mm] f-g=\int_{Q_n}f-g$ [/mm] und [mm] $\lambda(Q_n)=\frac 1{2^n}\lambda(Q)$ [/mm] bereits konstruiert. (Für $n=0$ gilt das ja trivialerweise.) Zerlege [mm] $Q_n$ [/mm] wieder in zwei gleich große Quader, bezeichne den von beiden, der $p$ enthält, mit [mm] $Q_{n+1}$. [/mm] Es gilt
Es gilt [mm] $\int_Q f-g=\int_{Q_n}f-g=\int_{Q_{n+1}}f-g+\int_{Q_n\setminus Q_{n+1}}f-g=\int_{Q_{n+1}}f-g$.
[/mm]
Jetzt hast du:
[mm] $|\int_Q f-g|=|\int _{Q_n}f-g|\le \lambda(Q_n)|f(p)-g(p)|=\frac 1{2^n}\lambda(Q)|f(p)-g(p)|\to [/mm] 0$.
[mm] $\lambda$ [/mm] bezeichnet hierbei immer das Lebesgue-Maß.
Gruß, banachella
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