Integral von zwei e-funktionen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Mi 01.11.2006 | | Autor: | esa |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Inhalt der Fläche , die von K ( f(x) = x²e^-x)
und C ( g(x)= e^-x) eingeschlossen wird.
Zeigen Sie zunächst, dass F(x)= -e^-x*(x²+2x+1) eine Stammfunktion
von f(x)- g(x) ist.
Was ich bisher berechnen konnte:
Beweis für Stammfunktion
F(x) = -e^-x (x²+2x+1)
F´(x) = -e^-x * (-1) + -e^-x * (2x+2)
F´(x) = -e^-x * (-x² +1) |
Ich schreibe morgen meine Abiprüfung im Mathegrundkurs und übe mit meiner Vorabiklausur.
In der kam diese Aufgabe dran und ich hatte da schon Probleme.
Ich verstehe ja, dass man F(x) ableiten muss um auf die Stammfunktion zu kommen, aber wie berechnet man f(x)-g(x) ?
x= x² * e^-x -e^-x ? Da komm ich dann doch kein Stück weiter.
Und wie berechnet man die Schnittpunkte der beiden Funktionen?
x² * e^-x = e^-x ?
da komme ich dann immer nur auf 0 :(
Achherje ich hoffe mir kann man hier weiterhelfen, normalerweise bin ich ganz gut in Sachen e-funktionen und Integralrechnung, aber ich sitze schon seit 2 Stunden an der Aufgabe und komme nicht auf eine richtige Lösung.
Danke schonmal!
Grüße aus Köln!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Mi 01.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie den Inhalt der Fläche , die von K ( f(x) =
> x²e^-x)
> und C ( g(x)= e^-x) eingeschlossen wird.
> Zeigen Sie zunächst, dass F(x)= -e^-x*(x²+2x+1) eine
> Stammfunktion
> von f(x)- g(x) ist.
>
> Was ich bisher berechnen konnte:
> Beweis für Stammfunktion
> F(x) = -e^-x (x²+2x+1)
> F´(x) = -e^-x * (-1) + -e^-x * (2x+2)
> F´(x) = -e^-x * (-x² +1)
Die idee ist Korrekt, nu hast du einen Dreher in der Ableitung:
F(x) = [mm] -e^{-x} [/mm] (x²+2x+1)
[mm] F'(x)=e^{-x}*(x²+2x+1)+(-e^{-x})*(2x+2)
[/mm]
[mm] =(x²-1)(e^{-x}
[/mm]
> Ich schreibe morgen meine Abiprüfung im Mathegrundkurs und
> übe mit meiner Vorabiklausur.
> In der kam diese Aufgabe dran und ich hatte da schon
> Probleme.
>
> Ich verstehe ja, dass man F(x) ableiten muss um auf die
> Stammfunktion zu kommen, aber wie berechnet man f(x)-g(x)
> ?
> x= x² * e^-x -e^-x ? Da komm ich dann doch kein Stück
> weiter.
Genau so, wenn du jetzt noch ein wenig vereinfachst, wirds leichter.
Also
[mm] \underbrace{x²*e^{-x}}_{f(x)}-\underbrace{e^{-x}}_{g(x)}=(x²-1)*e^{-x}
[/mm]
> Und wie berechnet man die Schnittpunkte der beiden
> Funktionen?
> x² * e^-x = e^-x
Korrekt
> da komme ich dann immer nur auf 0
Fast:
[mm] x²*e^{-x}=e^{-x} |:e^{-x}, [/mm] ist ja [mm] immer\not=0
[/mm]
[mm] \gdw x²=\red{1}
[/mm]
[mm] \gdw x=\pm1
[/mm]
jetzt musst du nur noch das Integral [mm] \integral_{-1}^{1}f(x)-g(x) [/mm] berechnen.
Die Stammfunktion hast du ja schon.
>
> Achherje ich hoffe mir kann man hier weiterhelfen,
> normalerweise bin ich ganz gut in Sachen e-funktionen und
> Integralrechnung, aber ich sitze schon seit 2 Stunden an
> der Aufgabe und komme nicht auf eine richtige Lösung.
>
> Danke schonmal!
> Grüße aus Köln!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Dann viel Erfolg morgen ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Marius
EDIT: Du hattest einen Drehe in der Ableitung von F(x)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mi 01.11.2006 | | Autor: | esa |
Super, danke, habs jetzt auch begriffen.
Nur nochmal eine kurze Frage:
Wie kommst du bei der Subtraktion auf (x² -1) * e^-x ? also mir wird die 1 gerade nicht ganz klar.
Ansonsten Danke ! Rettet mir gerade noch den Abend :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Mi 01.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
hier?
[mm] F(x)=-e^{-x}*(x²+2x+1)
[/mm]
und [mm] F'(x)=e^{-x}\cdot{}(x²+2x+1)+(-e^{-x})\cdot{}(2x+2)
[/mm]
[mm] =e^{-x}\cdot{}(x²+2x+1)-e^{-x})\cdot{}(2x+2)
[/mm]
[mm] =e^{-x}*(x²+2x+1-2x-2)
[/mm]
[mm] =e^{-x}(x²-1)
[/mm]
Oder meist du hier?
[mm] f(x)-g(x)=x²*e^{-x}-e^{-x}=x²*e^{-x}-\red{1}e^{-x}
[/mm]
Wenn du jetzt [mm] e^{-x} [/mm] ausklammerst, erhältst du:
[mm] e^{-x}(x²-\red{1}).
[/mm]
Nun klarer.
Ach ja: deine Ableitung von F(x) war noch fehlerhaft, ich hbe sie im ersten Artikel korrigiert, und oben nochmal hingeschrieben.
Marius
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