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Hallo
ich soll zeigen, dass gilt:
[mm] \integral_{a}^{1}{\wurzel{1-x^2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] arccos a - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] a [mm] \wurzel{1-a^2}
[/mm]
Ich habs mit Substitution versucht:
=
[mm] \integral_{arccos a}^{arccos 1}\wurzel{1-cos^2 t} [/mm] * -sin t dt
=
[mm] \integral_{arccos a}^{arccos 1} -sin^2 [/mm] t dt
Hier bleib ich stecken. Ich koennte jetzt partiell integrieren mit f(t) = -sin t und g(t) = sin t, aber dann muss ich das Integral von [mm] cos^2 [/mm] t ausrechnen, das kann ich dann wieder partiell integrieren..aber damit komm ich auf keinen gruenen Zweig..hat jemand eine Idee??
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Dann steht dort folgendes:
[mm] $-\int\sin^2t\,\mathrm{d}t=\Big[\cos t\cdot{}\sin t\Big]-\int 1-\sin^2 t\,\mathrm{d}t$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $-\int\sin^2t\,\mathrm{d}t=\Big[\cos t\cdot{}\sin t\Big]-\int 1\,\mathrm{d}t+\int\sin^2t\mathrm{d}t$
[/mm]
Jetzt kannst du das letzte Integral mit minus auf die andere Seite bringen und bei beiden Seiten der Gleichung durch zwei teilen.
[mm] $\gdw$ [/mm]
[mm] $-2\int\sin^2t\,\mathrm{d}t=\Big[\cos t\cdot{}\sin t\Big]-\int 1\,\mathrm{d}t$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $-\int\sin^2t\,\mathrm{d}t=\bruch{\Big[\cos t\cdot{}\sin t\Big]}{2}-\bruch{\int 1\,\mathrm{d}t}{2}$
[/mm]
Grüße, Stefan.
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Ich glaub ich hab irgendwas verpasst...
> Dann steht dort folgendes:
>
> [mm]-\int\sin^2t\,\mathrm{d}t=\Big[\cos t\cdot{}\sin t\Big]-\int 1-\sin^2 t\,\mathrm{d}t[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]-\int\sin^2t\,\mathrm{d}t=\Big[\cos t\cdot{}\sin t\Big]-\int 1\,\mathrm{d}t+\int\sin^2t\mathrm{d}t[/mm]
Was ist das fuer eine Regel? Kenn ich gar nicht :-(
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Hallo sancho,
das hintere Integral in die Summe zweier Integrale aufgespaltet,
dann stand ein - davor, also quasi ne Minusklammer, die dann aufgelösen,
wobei sich die VZ umdrehen.
also [mm] -\int{\left(1-\sin^2(t)\right)dt}=-\left(\int{1}dt-\int{\sin^2(t)dt}\right)=-\int{1}dt+\int{\sin^2(t)dt}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Ich glaub ich hab mir die Aufgabe heute schon zu lange angeschaut. Mit all euren Hinweisen bin ich jetzt bei:
Integral = [mm] \bruch{cos t * sin t}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1-arccos a}{2}
[/mm]
Und wie komm ich jetzt auf mein eingangs erwaehntes Ergebnis?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Fr 13.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ruecksubstituieren und sin durch cos ausdruecken!
Gruss leduart
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Hab ich gemacht:
t = cos x
sin x = [mm] \wurzel[]{1-cos^2x}
[/mm]
Dann wird daraus
Integral = [mm] \bruch{x * \wurzel[]{1-x^2}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1-arccos x}{2}
[/mm]
Das ist immer noch nicht das Ergebnis :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Fr 13.07.2007 | | Autor: | ThaddyW |
> Hab ich gemacht:
>
> t = cos x
> sin x = [mm]\wurzel[]{1-cos^2x}[/mm]
>
> Dann wird daraus
>
> Integral = [mm]\bruch{x * \wurzel[]{1-x^2}}{2}[/mm] -
> [mm]\bruch{1-arccos x}{2}[/mm]
>
> Das ist immer noch nicht das Ergebnis :(
Doch ist es, jetrzt setz mal x = 1 ein und zieh x = a davon ab, dann sollteste dein Ergebnis erhalten
Gruß Thaddy
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ahh endlich
war ja ne schwierige geburt
wobei ich immer noch nicht verstehe, wieso ich jetzt noch die formel mit den beiden werten voneinander subtrahieren musste...ich dachte die formel ist selbst schon das bestimmte integral...so wurde sie doch hergeleitet...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Fr 13.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
da x in deiner Formel vorkommt hast du doch offensichtlich ne Stammfunktion und KEIN bestimmtes Integral! also musst du die Grenzen noch richtig einsetzen.
Ich denke du solltest länger selbst nachdenken, bevor du um Hilfe bittest, dass in deiner formel kein a vorkommt könntest du doch selbst merken!!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Fr 13.07.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Ja mag sein. Aber ich seh bei der Aufgabe glaube den Wald vor lauter Baeumen nicht mehr 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Do 12.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo sancho!
Ergänzend zu schachuzipus' Antwort hier noch mal etwas allgemeiner, dass für Integral die  Summenregel gilt:
[mm] $\integral{f(x) \ \pm \ g(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{f(x) \ dx} [/mm] \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \integral{g(x) \ dx}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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