Integral von 1(x^2+x+1) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ich soll eine Differenzialgleichung lösen und bin zu dem Punkt gekommen, wo ich das folgende Integral lösen muss.
[mm] \integral_{a}^{\mu(t)}{\bruch{dz}{z^2+z+1}}
[/mm]
Partialbruchzerlegung geht ja nicht, da man keine Nullstellen hat. Substitution mit w:=z+1 brachte mich auch nur auf [mm] \bruch{dw}{w^2-w+1} [/mm] und eine recht große Integraltabelle konnte auch nicht helfen.
Danke im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Sa 10.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Polynom im Nenner in [mm] (z+a)^2+b [/mm] umschreiben, dann b ausklammern, und [mm] (z+a)/\wurzel{b}=w [/mm] substituieren.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wow... ging ja schnell ^^ Danke, jetzt hab ich's.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Aus reinem Interesse hab ich das ganze auch mal versucht zu rechnen; bin aber leider zu keinem gescheiten Ende gekommen.
Deinen Tipps folgend, rechnete ich folgendes:
[mm] \integral{\bruch{dz}{z^2+z+1}} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{dz}{(z+\bruch{1}{2})^{2}+\bruch{3}{4}}} [/mm]
w:= [mm] \bruch{z+\bruch{1}{2}}{\wurzel{\bruch{3}{4}}}
[/mm]
w' = [mm] \bruch{dw}{dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{3}{4}}} [/mm] <=> dz= [mm] dw*\wurzel{\bruch{3}{4}}
[/mm]
<=> [mm] \integral{\bruch{dw}{\wurzel{\bruch{3}{4}}+\wurzel{\bruch{3}{4}} * w^{2}}}
[/mm]
Also irgendwo hab ich hier nen klaren Denkfehler oder sonstiges drin; wäre sehr dankbar, falls mir mal jemand ein wenig auf die Sprünge helfen könnte.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Sa 10.05.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
klammere jetzt noch [mm] $\sqrt{3/4}$ [/mm] im Nenner aus.
Eine Stammfunktion von $f(x) = [mm] \frac{1}{1 + x^2}$ [/mm] ist $F(x) = [mm] \arctan [/mm] x.$
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Maggons |
Ok, also einfach sagen:
[mm] \integral{\bruch{dw}{\wurzel{\bruch{3}{4}}+\wurzel{\bruch{3}{4}} \cdot{} w^{2}}}
[/mm]
=
[mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{3}{4}}} [/mm] * [mm] \integral{\bruch{dw}{1+w^{2}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{arctan w}{\wurzel{\bruch{3}{4}} }
[/mm]
= [mm] \bruch{arctan( \bruch{z+\bruch{1}{2}}{\wurzel{\bruch{3}{4}}})}{\wurzel{\bruch{3}{4}}}
[/mm]
Gehe davon aus, und hoffe einfach mal, dass das so nun stimmt.
Ciao, lieben Dank und schönen Tag noch :)
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