Integral unklar < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:25 Di 11.10.2011 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Fourier-Transformierte [mm] $F(\omega)$ [/mm] der Funktion:
[mm] $f(x)=\begin{cases}
0 & t<0\\
e^{-\gamma t}e^{i\omega_o t} & t\geq 0\end{cases}$ [/mm] |
Hallo,
es geht zwar um Fouriertransformation, aber eigentlich ist mir nur das Integral unklar.
Es ist [mm] $F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t$
[/mm]
Also [mm] $F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}\,\mathrm{d}t=\left[\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}}{i\omega_0-i\omega-\gamma}\right]_0^{\infty}$ [/mm]
Rauskommen soll [mm] $\frac{1}{2\pi}\frac{i}{\omega_0-\omega-i\gamma}$
[/mm]
Ich weiß nicht, wie ich die obere Grenze verarbeiten soll...
Gruß,
notinX
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Di 11.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die Fourier-Transformierte [mm]F(\omega)[/mm] der
> Funktion:
> [mm]$f(x)=\begin{cases}
0 & t<0\\
e^{-\gamma t}e^{i\omega_o t} & t\geq 0\end{cases}$[/mm]
>
> Hallo,
>
> es geht zwar um Fouriertransformation, aber eigentlich ist
> mir nur das Integral unklar.
> Es ist [mm]F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t[/mm]
>
> Also [mm]F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}\,\mathrm{d}t=\left[\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}}{i\omega_0-i\omega-\gamma}\right]_0^{\infty}[/mm]
>
> Rauskommen soll
> [mm]\frac{1}{2\pi}\frac{i}{\omega_0-\omega-i\gamma}[/mm]
>
> Ich weiß nicht, wie ich die obere Grenze verarbeiten
> soll...
>
Berechne [mm] \int_0^a e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}\,\mathrm{d}t [/mm] und lasse dann $a [mm] \to \infty$ [/mm] gehen.
FRED
> Gruß,
>
> notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 Di 11.10.2011 | | Autor: | notinX |
> > Berechnen Sie die Fourier-Transformierte [mm]F(\omega)[/mm] der
> > Funktion:
> > [mm]$f(x)=\begin{cases}
0 & t<0\\
e^{-\gamma t}e^{i\omega_o t} & t\geq 0\end{cases}$[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> >
> > es geht zwar um Fouriertransformation, aber eigentlich ist
> > mir nur das Integral unklar.
> > Es ist [mm]F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t[/mm]
>
> >
> > Also [mm]F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}\,\mathrm{d}t=\left[\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}}{i\omega_0-i\omega-\gamma}\right]_0^{\infty}[/mm]
> >
> > Rauskommen soll
> > [mm]\frac{1}{2\pi}\frac{i}{\omega_0-\omega-i\gamma}[/mm]
> >
> > Ich weiß nicht, wie ich die obere Grenze verarbeiten
> > soll...
> >
>
> Berechne [mm]\int_0^a e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}\,\mathrm{d}t[/mm]
> und lasse dann [mm]a \to \infty[/mm] gehen.
Das ist klar, aber was ist
[mm] $\lim_{a\to\infty}\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}}{i\omega_0-i\omega-\gamma}$ [/mm]
?
Dazu muss ich doch wissen, ob [mm] $(i\omega_0-i\omega-\gamma)$ [/mm] größer oder kleiner null ist, aber das wird schwierig mit komplexen Ausdrücken.
>
> FRED
> > Gruß,
> >
> > notinX
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Di 11.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Berechnen Sie die Fourier-Transformierte [mm]F(\omega)[/mm] der
> > > Funktion:
> > > [mm]$f(x)=\begin{cases}
0 & t<0\\
e^{-\gamma t}e^{i\omega_o t} & t\geq 0\end{cases}$[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > es geht zwar um Fouriertransformation, aber eigentlich ist
> > > mir nur das Integral unklar.
> > > Es ist
> [mm]F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t[/mm]
>
> >
> > >
> > > Also [mm]F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}\,\mathrm{d}t=\left[\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}}{i\omega_0-i\omega-\gamma}\right]_0^{\infty}[/mm]
> > >
> > > Rauskommen soll
> > > [mm]\frac{1}{2\pi}\frac{i}{\omega_0-\omega-i\gamma}[/mm]
> > >
> > > Ich weiß nicht, wie ich die obere Grenze verarbeiten
> > > soll...
> > >
> >
> > Berechne [mm]\int_0^a e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}\,\mathrm{d}t[/mm]
> > und lasse dann [mm]a \to \infty[/mm] gehen.
>
> Das ist klar, aber was ist
>
> [mm]\lim_{a\to\infty}\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}}{i\omega_0-i\omega-\gamma}[/mm]
> ?
> Dazu muss ich doch wissen, ob [mm](i\omega_0-i\omega-\gamma)[/mm]
> größer oder kleiner null ist, aber das wird schwierig mit
> komplexen Ausdrücken.
So, so ... ?
Ich nehme doch an, dass [mm] \omega_0, \omega [/mm] und [mm] \gamma [/mm] alle reell sind. Weiter nehme ich an, dass [mm] \gamma>0 [/mm] ist (das ist meist so, in diesem Dunstkreis). Dann haben wir:
$ [mm] |e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}|=|e^{i\omega_0}|*|e^{-i \omega}|*e^{-\gamma* a}=e^{-\gamma* a}$.
[/mm]
Und was treibt das für a [mm] \to \infty [/mm] ?
Edit: es muß natürlich so lauten: $ [mm] |e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}|=|e^{i\omega_0 a}|\cdot{}|e^{-i \omega a}|\cdot{}e^{-\gamma\cdot{} a}=e^{-\gamma\cdot{} a} [/mm] $
FRED
>
> >
> > FRED
> > > Gruß,
> > >
> > > notinX
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Di 11.10.2011 | | Autor: | notinX |
> > > > Berechnen Sie die Fourier-Transformierte [mm]F(\omega)[/mm] der
> > > > Funktion:
> > > > [mm]$f(x)=\begin{cases}
0 & t<0\\
e^{-\gamma t}e^{i\omega_o t} & t\geq 0\end{cases}$[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > es geht zwar um Fouriertransformation, aber eigentlich ist
> > > > mir nur das Integral unklar.
> > > > Es ist
> > [mm]F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Also [mm]F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}\,\mathrm{d}t=\left[\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}}{i\omega_0-i\omega-\gamma}\right]_0^{\infty}[/mm]
> > > >
> > > > Rauskommen soll
> > > > [mm]\frac{1}{2\pi}\frac{i}{\omega_0-\omega-i\gamma}[/mm]
> > > >
> > > > Ich weiß nicht, wie ich die obere Grenze verarbeiten
> > > > soll...
> > > >
> > >
> > > Berechne [mm]\int_0^a e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}\,\mathrm{d}t[/mm]
> > > und lasse dann [mm]a \to \infty[/mm] gehen.
> >
> > Das ist klar, aber was ist
> >
> >
> [mm]\lim_{a\to\infty}\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}}{i\omega_0-i\omega-\gamma}[/mm]
> > ?
> > Dazu muss ich doch wissen, ob [mm](i\omega_0-i\omega-\gamma)[/mm]
> > größer oder kleiner null ist, aber das wird schwierig mit
> > komplexen Ausdrücken.
>
> So, so ... ?
>
> Ich nehme doch an, dass [mm]\omega_0, \omega[/mm] und [mm]\gamma[/mm] alle
> reell sind. Weiter nehme ich an, dass [mm]\gamma>0[/mm] ist (das ist
> meist so, in diesem Dunstkreis). Dann haben wir:
Das ist zwar nicht angegeben, aber da stimme ich Dir zu.
>
> [mm]|e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}|=|e^{i\omega_0}|*|e^{-i \omega}|*e^{-\gamma* a}=e^{-\gamma* a}[/mm].
Diese Umformung ist mir nicht klar. Muss es nicht heißen
[mm] $|e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}|=|e^{i\omega_0 a}|*|e^{-i \omega a}|*e^{-\gamma* a}=e^{-\gamma* a}$
[/mm]
und wieso kann ich hier einfach den Betrag betrachten?
>
> Und was treibt das für a [mm]\to \infty[/mm] ?
>
> FRED
> >
> > >
> > > FRED
> > > > Gruß,
> > > >
> > > > notinX
> > >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Di 11.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Berechnen Sie die Fourier-Transformierte [mm]F(\omega)[/mm] der
> > > > > Funktion:
> > > > > [mm]$f(x)=\begin{cases}
0 & t<0\\
e^{-\gamma t}e^{i\omega_o t} & t\geq 0\end{cases}$[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > es geht zwar um Fouriertransformation, aber eigentlich ist
> > > > > mir nur das Integral unklar.
> > > > > Es ist
> > > [mm]F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Also [mm]F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}\,\mathrm{d}t=\left[\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}}{i\omega_0-i\omega-\gamma}\right]_0^{\infty}[/mm]
> > > > >
> > > > > Rauskommen soll
> > > > > [mm]\frac{1}{2\pi}\frac{i}{\omega_0-\omega-i\gamma}[/mm]
> > > > >
> > > > > Ich weiß nicht, wie ich die obere Grenze verarbeiten
> > > > > soll...
> > > > >
> > > >
> > > > Berechne [mm]\int_0^a e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}\,\mathrm{d}t[/mm]
> > > > und lasse dann [mm]a \to \infty[/mm] gehen.
> > >
> > > Das ist klar, aber was ist
> > >
> > >
> >
> [mm]\lim_{a\to\infty}\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}}{i\omega_0-i\omega-\gamma}[/mm]
> > > ?
> > > Dazu muss ich doch wissen, ob [mm](i\omega_0-i\omega-\gamma)[/mm]
> > > größer oder kleiner null ist, aber das wird schwierig mit
> > > komplexen Ausdrücken.
> >
> > So, so ... ?
> >
> > Ich nehme doch an, dass [mm]\omega_0, \omega[/mm] und [mm]\gamma[/mm] alle
> > reell sind. Weiter nehme ich an, dass [mm]\gamma>0[/mm] ist (das ist
> > meist so, in diesem Dunstkreis). Dann haben wir:
>
> Das ist zwar nicht angegeben, aber da stimme ich Dir zu.
>
> >
> > [mm]|e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}|=|e^{i\omega_0}|*|e^{-i \omega}|*e^{-\gamma* a}=e^{-\gamma* a}[/mm].
>
> Diese Umformung ist mir nicht klar. Muss es nicht heißen
> [mm]|e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}|=|e^{i\omega_0 a}|*|e^{-i \omega a}|*e^{-\gamma* a}=e^{-\gamma* a}[/mm]
Ja, Du hast recht, die a's hab ich verschlampert.
>
> und wieso kann ich hier einfach den Betrag betrachten?
Es gilt:
[mm]|e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}|=|e^{i\omega_0 a}|*|e^{-i \omega a}|*e^{-\gamma* a}=e^{-\gamma* a} \to 0[/mm] für a [mm] \to \infty.
[/mm]
Damit haben wir:
[mm] e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a} \to [/mm] 0 für [mm] \to \infty.
[/mm]
FRED
> >
> > Und was treibt das für a [mm]\to \infty[/mm] ?
> >
> > FRED
> > >
> > > >
> > > > FRED
> > > > > Gruß,
> > > > >
> > > > > notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Di 11.10.2011 | | Autor: | notinX |
> > > > > > Berechnen Sie die Fourier-Transformierte [mm]F(\omega)[/mm] der
> > > > > > Funktion:
> > > > > > [mm]$f(x)=\begin{cases}
0 & t<0\\
e^{-\gamma t}e^{i\omega_o t} & t\geq 0\end{cases}$[/mm]
>
> >
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> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Hallo,
> > > > > >
> > > > > > es geht zwar um Fouriertransformation, aber eigentlich ist
> > > > > > mir nur das Integral unklar.
> > > > > > Es ist
> > > > [mm]F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t[/mm]
>
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> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Also [mm]F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}\,\mathrm{d}t=\left[\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}}{i\omega_0-i\omega-\gamma}\right]_0^{\infty}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Rauskommen soll
> > > > > > [mm]\frac{1}{2\pi}\frac{i}{\omega_0-\omega-i\gamma}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Ich weiß nicht, wie ich die obere Grenze verarbeiten
> > > > > > soll...
> > > > > >
> > > > >
> > > > > Berechne [mm]\int_0^a e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}\,\mathrm{d}t[/mm]
> > > > > und lasse dann [mm]a \to \infty[/mm] gehen.
> > > >
> > > > Das ist klar, aber was ist
> > > >
> > > >
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> >
> [mm]\lim_{a\to\infty}\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}}{i\omega_0-i\omega-\gamma}[/mm]
> > > > ?
> > > > Dazu muss ich doch wissen, ob [mm](i\omega_0-i\omega-\gamma)[/mm]
> > > > größer oder kleiner null ist, aber das wird schwierig mit
> > > > komplexen Ausdrücken.
> > >
> > > So, so ... ?
> > >
> > > Ich nehme doch an, dass [mm]\omega_0, \omega[/mm] und [mm]\gamma[/mm] alle
> > > reell sind. Weiter nehme ich an, dass [mm]\gamma>0[/mm] ist (das ist
> > > meist so, in diesem Dunstkreis). Dann haben wir:
> >
> > Das ist zwar nicht angegeben, aber da stimme ich Dir zu.
> >
> > >
> > > [mm]|e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}|=|e^{i\omega_0}|*|e^{-i \omega}|*e^{-\gamma* a}=e^{-\gamma* a}[/mm].
>
> >
> > Diese Umformung ist mir nicht klar. Muss es nicht heißen
> > [mm]|e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}|=|e^{i\omega_0 a}|*|e^{-i \omega a}|*e^{-\gamma* a}=e^{-\gamma* a}[/mm]
>
>
> Ja, Du hast recht, die a's hab ich verschlampert.
>
>
> >
> > und wieso kann ich hier einfach den Betrag betrachten?
>
> Es gilt:
>
>
>
> [mm]|e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}|=|e^{i\omega_0 a}|*|e^{-i \omega a}|*e^{-\gamma* a}=e^{-\gamma* a} \to 0[/mm]
> für a [mm]\to \infty.[/mm]
>
> Damit haben wir:
>
> [mm]e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a} \to[/mm] 0 für [mm]\to \infty.[/mm]
Ja, das habe ich ja verstanden. Meine Frage war, wieso ich hier zur Grenzwertbestimmung einfach den Betrag betrachten kann. Denn allgemein gilt ja nicht [mm] $\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}|f(x)|$
[/mm]
>
> FRED
>
>
>
>
>
> > >
> > > Und was treibt das für a [mm]\to \infty[/mm] ?
> > >
> > > FRED
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> > > > >
> > > > > FRED
> > > > > > Gruß,
> > > > > >
> > > > > > notinX
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Di 11.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > > > > > Berechnen Sie die Fourier-Transformierte [mm]F(\omega)[/mm] der
> > > > > > > Funktion:
> > > > > > > [mm]$f(x)=\begin{cases}
0 & t<0\\
e^{-\gamma t}e^{i\omega_o t} & t\geq 0\end{cases}$[/mm]
>
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> > > > > > > Hallo,
> > > > > > >
> > > > > > > es geht zwar um Fouriertransformation, aber eigentlich ist
> > > > > > > mir nur das Integral unklar.
> > > > > > > Es ist
> > > > > [mm]F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t[/mm]
>
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> > > >
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> > > > > > >
> > > > > > > Also [mm]F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}\,\mathrm{d}t=\left[\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}}{i\omega_0-i\omega-\gamma}\right]_0^{\infty}[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > Rauskommen soll
> > > > > > > [mm]\frac{1}{2\pi}\frac{i}{\omega_0-\omega-i\gamma}[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > Ich weiß nicht, wie ich die obere Grenze verarbeiten
> > > > > > > soll...
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Berechne [mm]\int_0^a e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}\,\mathrm{d}t[/mm]
> > > > > > und lasse dann [mm]a \to \infty[/mm] gehen.
> > > > >
> > > > > Das ist klar, aber was ist
> > > > >
> > > > >
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> > >
> >
> [mm]\lim_{a\to\infty}\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}}{i\omega_0-i\omega-\gamma}[/mm]
> > > > > ?
> > > > > Dazu muss ich doch wissen, ob [mm](i\omega_0-i\omega-\gamma)[/mm]
> > > > > größer oder kleiner null ist, aber das wird schwierig mit
> > > > > komplexen Ausdrücken.
> > > >
> > > > So, so ... ?
> > > >
> > > > Ich nehme doch an, dass [mm]\omega_0, \omega[/mm] und [mm]\gamma[/mm] alle
> > > > reell sind. Weiter nehme ich an, dass [mm]\gamma>0[/mm] ist (das ist
> > > > meist so, in diesem Dunstkreis). Dann haben wir:
> > >
> > > Das ist zwar nicht angegeben, aber da stimme ich Dir zu.
> > >
> > > >
> > > > [mm]|e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}|=|e^{i\omega_0}|*|e^{-i \omega}|*e^{-\gamma* a}=e^{-\gamma* a}[/mm].
>
> >
> > >
> > > Diese Umformung ist mir nicht klar. Muss es nicht heißen
> > > [mm]|e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}|=|e^{i\omega_0 a}|*|e^{-i \omega a}|*e^{-\gamma* a}=e^{-\gamma* a}[/mm]
>
> >
> >
> > Ja, Du hast recht, die a's hab ich verschlampert.
> >
> >
> > >
> > > und wieso kann ich hier einfach den Betrag betrachten?
> >
> > Es gilt:
> >
> >
> >
> > [mm]|e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}|=|e^{i\omega_0 a}|*|e^{-i \omega a}|*e^{-\gamma* a}=e^{-\gamma* a} \to 0[/mm]
> > für a [mm]\to \infty.[/mm]
> >
> > Damit haben wir:
> >
> > [mm]e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a} \to[/mm] 0 für [mm]\to \infty.[/mm]
>
> Ja, das habe ich ja verstanden. Meine Frage war, wieso ich
> hier zur Grenzwertbestimmung einfach den Betrag betrachten
> kann.
Weils damit funktioniert !
> Denn allgemein gilt ja nicht [mm]\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}|f(x)|[/mm]
Aber es gilt:
$f(x) [mm] \to [/mm] 0$ für $x [mm] \to x_0$ \gdw [/mm] $ |f(x)| [mm] \to [/mm] 0$ für $x [mm] \to x_0$
[/mm]
FRED
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> > FRED
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> > > > Und was treibt das für a [mm]\to \infty[/mm] ?
> > > >
> > > > FRED
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> > > > > > FRED
> > > > > > > Gruß,
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> > > > > > > notinX
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:54 Di 11.10.2011 | | Autor: | notinX |
> > > > > > > > Berechnen Sie die Fourier-Transformierte [mm]F(\omega)[/mm] der
> > > > > > > > Funktion:
> > > > > > > > [mm]$f(x)=\begin{cases}
0 & t<0\\
e^{-\gamma t}e^{i\omega_o t} & t\geq 0\end{cases}$[/mm]
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> > > > > > > > Hallo,
> > > > > > > >
> > > > > > > > es geht zwar um Fouriertransformation, aber eigentlich ist
> > > > > > > > mir nur das Integral unklar.
> > > > > > > > Es ist
> > > > > > [mm]F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > Also [mm]F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}\,\mathrm{d}t=\left[\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}}{i\omega_0-i\omega-\gamma}\right]_0^{\infty}[/mm]
> > > > > > > >
> > > > > > > > Rauskommen soll
> > > > > > > > [mm]\frac{1}{2\pi}\frac{i}{\omega_0-\omega-i\gamma}[/mm]
> > > > > > > >
> > > > > > > > Ich weiß nicht, wie ich die obere Grenze verarbeiten
> > > > > > > > soll...
> > > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Berechne [mm]\int_0^a e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)t}\,\mathrm{d}t[/mm]
> > > > > > > und lasse dann [mm]a \to \infty[/mm] gehen.
> > > > > >
> > > > > > Das ist klar, aber was ist
> > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\lim_{a\to\infty}\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}}{i\omega_0-i\omega-\gamma}[/mm]
> > > > > > ?
> > > > > > Dazu muss ich doch wissen, ob [mm](i\omega_0-i\omega-\gamma)[/mm]
> > > > > > größer oder kleiner null ist, aber das wird schwierig mit
> > > > > > komplexen Ausdrücken.
> > > > >
> > > > > So, so ... ?
> > > > >
> > > > > Ich nehme doch an, dass [mm]\omega_0, \omega[/mm] und [mm]\gamma[/mm] alle
> > > > > reell sind. Weiter nehme ich an, dass [mm]\gamma>0[/mm] ist (das ist
> > > > > meist so, in diesem Dunstkreis). Dann haben wir:
> > > >
> > > > Das ist zwar nicht angegeben, aber da stimme ich Dir zu.
> > > >
> > > > >
> > > > > [mm]|e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}|=|e^{i\omega_0}|*|e^{-i \omega}|*e^{-\gamma* a}=e^{-\gamma* a}[/mm].
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Diese Umformung ist mir nicht klar. Muss es nicht heißen
> > > > [mm]|e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}|=|e^{i\omega_0 a}|*|e^{-i \omega a}|*e^{-\gamma* a}=e^{-\gamma* a}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > Ja, Du hast recht, die a's hab ich verschlampert.
> > >
> > >
> > > >
> > > > und wieso kann ich hier einfach den Betrag betrachten?
> > >
> > > Es gilt:
> > >
> > >
> > >
> > > [mm]|e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a}|=|e^{i\omega_0 a}|*|e^{-i \omega a}|*e^{-\gamma* a}=e^{-\gamma* a} \to 0[/mm]
> > > für a [mm]\to \infty.[/mm]
> > >
> > > Damit haben wir:
> > >
> > > [mm]e^{(i\omega_0-i\omega-\gamma)a} \to[/mm] 0 für [mm]\to \infty.[/mm]
>
> >
> > Ja, das habe ich ja verstanden. Meine Frage war, wieso ich
> > hier zur Grenzwertbestimmung einfach den Betrag betrachten
> > kann.
>
> Weils damit funktioniert !
>
> > Denn allgemein gilt ja nicht [mm]\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}|f(x)|[/mm]
>
> Aber es gilt:
>
> [mm]f(x) \to 0[/mm] für [mm]x \to x_0[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]|f(x)| \to 0[/mm] für [mm]x \to x_0[/mm]
>
Ok, das akzeptiere ich als Begründung 
Gruß,
notinX
> FRED
> >
> > >
> > > FRED
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > > >
> > > > > Und was treibt das für a [mm]\to \infty[/mm] ?
> > > > >
> > > > > FRED
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > FRED
> > > > > > > > Gruß,
> > > > > > > >
> > > > > > > > notinX
> > > > > > >
> > > > > >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 Di 11.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > > > > > > > Berechnen Sie die Fourier-Transformierte [mm]F(\omega)[/mm] der
>
> Ok, das akzeptiere ich als Begründung
>
Mir fällt ein Stein vom Herzen. Mein Tag ist gerettet.
FRED
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