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| Aufgabe | Also es ist eigentlich eine Umformung die Ich grad nicht verstehe.
und [mm] zwar:\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x} cos(\bruch{1}{x}) dx} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{cos x}{x} dx} [/mm] |
Wie kommt diese Umformung zustande? Wenn ich mir das mit Subsititution überlege komme ich auf sowas:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x} cos(\bruch{1}{x}) dx} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow 0} \integral_{n}^{1}{\bruch{1}{x} cos(\bruch{1}{x}) dx} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow 0} -\integral_{1/n}^{1}{z*cos(z) dz}=\integral_{1}^{\infty}{z*cos(z) dz}
[/mm]
Substitution mit z = [mm] \bruch{1}{x}.
[/mm]
Dann gilt [mm] \bruch{dz}{dx}=-1/x^2, [/mm] also [mm] dx=-x^2*dz
[/mm]
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Hallo ethernity,
> Also es ist eigentlich eine Umformung die Ich grad nicht
> verstehe.
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> und [mm]zwar:\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x} cos(\bruch{1}{x}) dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{cos x}{x} dx}[/mm]
> Wie kommt
> diese Umformung zustande? Wenn ich mir das mit
> Subsititution überlege komme ich auf sowas:
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x} cos(\bruch{1}{x}) dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \integral_{n}^{1}{\bruch{1}{x} cos(\bruch{1}{x}) dx}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow 0} -\integral_{1/n}^{1}{z*cos(z) dz}=\integral_{1}^{\infty}{z*cos(z) dz}[/mm]
>
> Substitution mit z = [mm]\bruch{1}{x}.[/mm]
> Dann gilt [mm]\bruch{dz}{dx}=-1/x^2,[/mm] also [mm]dx=-x^2*dz[/mm]
Ja, das ist genau richtig, daher ist die Verwendung der Variable $x$ auch im Integral auf der rechten Seite etwas verwirrend. Besser hätte mal direkt $z$ geschrieben.
Substituiere direkt im Ausgangsintegral, dann bist du schnell bei der rechten Seite.
Anschließend einfach das $z$ in $x$ umbenennen ...
Gruß
schachuzipus
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Wo ist denn mein fehler?
Ich komm ja auf ein anderes Ergebnis...
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Hallo nochmal,
> Wo ist denn mein fehler?
> Ich komm ja auf ein anderes Ergebnis...
wieso?
[mm]z=\frac{1}{x}\Rightarrow dx=-x^2 \ dz[/mm] und [mm]\frac{1}{z}=x[/mm]
Also [mm]\int{\frac{1}{x}\cos(1/x) \ dx}=\int{\frac{1}{x}\cos(z)(-x^2) \ dz}=-\int{x\cos(z) \ dz}=-\int{\frac{\cos(z)}{z} \ dz}[/mm]
Nun noch die Grenzen substituieren:
[mm]x=0\Rightarrow z=\frac{1}{x}=\infty[/mm] und [mm]x=1\Rightarrow z=1[/mm]
Also [mm]\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{x}\cos(1/x) \ dx} \ = \ -\int\limits_{\infty}^{1}{\frac{\cos(z)}{z} \ dz} \ = \ \int\limits_{1}^{\infty}{\frac{\cos(z)}{z} \ dz}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Di 09.08.2011 | | Autor: | ethernity |
Danke habs auch grad gesehen!
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