Integral über zwei Zylinder < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Sa 07.01.2006 | | Autor: | K-D |
Hallo,
ich soll das Schnittvolumen von zwei Zylinder berechnen die sich senkrecht treffen. Beide Zylinder haben den gleichen Radius r und sind gegeben durch:
{(x,y,z)| x²+y²<=r²} und {(x,y,z)| x²+z²<=r²}
Ich habe mir jetzt folgendes Integral überlegt:
[mm] 4*\integral_{0}^{r} [/mm] { [mm] \integral_{0}^{ \wurzel{r²-x²}} [/mm] { [mm] \integral_{0}^{ \wurzel{r²-y²}} [/mm] {1 dz} dy} dx}
Als Lösung habe ich dann dafür berechnet:
[mm] \bruch{1}{6}*r^4
[/mm]
Stimmt das??
Grüße,
k-d
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Das kann schon aus Dimensionsgründen nicht stimmen, denn mit [mm]r^4[/mm] bist du ja in der vierten Dimension. Vielmehr erhält man für das Volumen des Schnittkörpers [mm]S[/mm]:
[mm]V(S) = \int_{-r}^r~\int_{- \sqrt{r^2 - z^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2}}~\int_{-\sqrt{r^2 - z^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2}}~~\mathrm{d}x~\mathrm{d}y~\mathrm{d}z \ = \ 8 \int_0^r~\int_0^{\sqrt{r^2 - z^2}}~\int_{0}^{\sqrt{r^2 - z^2}}~~\mathrm{d}x~\mathrm{d}y~\mathrm{d}z[/mm]
Hierbei setze ich voraus, daß die [mm]x[/mm]- und die [mm]y[/mm]-Achse die Rotationsachsen der jeweiligen Zylinder sind. Beachte, daß die Integrationsgrenzen der inneren Integrale nur von der äußersten Integrationsvariable (bei mir [mm]z[/mm]) abhängig sind.
Das Ganze geht auch anschaulich (siehe auch diesen Strang).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:54 So 17.12.2006 | | Autor: | Kirsche |
Hi,
warum die Integralgrenzen so sind, habe ich verstanden, aber mir ist noch nicht ganz klar, wieso nun über 1 integriert wird. Könnte mir da jemand einen Tipp geben?
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 19.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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