Integral über Zylindermantel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien [mm] \epsilon [/mm] > 0 sowie die Zylindermantelschale [mm] Z_\epsilon [/mm] = {x [mm] \in R^3 [/mm] : [mm] \epsilon [/mm] ≤ [mm] \wurzel{(x_1^2+(x_2)^2)}\le [/mm] 1 [mm] |x_3| [/mm] ≤1 }
Bestimmen Sie alle q [mm] \in [/mm] R, für die
[mm] \limes_{\epsilon\rightarrow\0}(\integral_{Z_\epsilon}^{}{\bruch{1}{(\wurzel{(x_1)^2+(x_2)^2})^q} dx})
[/mm]
existiert. Wie lautet in diesem Fall der Grenzwert?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich sitze an der obigen Aufgabenstellung und habe eigentlich absolut keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
Ich wäre für einen Tipp bezüglich der Herangehenweise an so eine Aufgabe dankbar.
Gruß
Sk8terb0i
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Fr 13.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Hier bieten sich Zylinder -Koordinaten an:
[mm] x_1 [/mm] = r [mm] cos(\phi)
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = r [mm] sin(\phi)
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] x_3
[/mm]
wobei r [mm] \in [\varepsilon, [/mm] 1], [mm] \phi \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi] [/mm] und [mm] x_3 \in [/mm] [-1,1]
Aus
[mm] $\integral_{Z_\epsilon}^{}{\bruch{1}{(\wurzel{(x_1)^2+(x_2)^2})^q} dx} [/mm] $
wird dann (nachrechnen !) $4 [mm] \pi \integral_{\varepsilon}^{1}{r^{1-q} dr}$
[/mm]
berechne dieses Integral und schau nach, für welche q der Limes für [mm] \varepsilon [/mm] -->0 ex.
Ohne Gewähr: ich habe q< 2 heraus
FRED
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Ich habe nun Zylinderkoordinaten eingesetzt und bekomme das Integral:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{r}{r^q} d\phi d x_3 dr} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{r^{1-q} d\phi d x_3 dr}
[/mm]
die Grenzen für [mm] \phi [/mm] und [mm] x_3 [/mm] verstehe ich, aber wie kommst du auf die Grenzen für r ? das ist mir noch nicht klar.
wenn ich die Grenzen trotzdem einsetze bekomme ich das gleiche wie du.
wenn ich das Integriere bekomme ich [mm] 4*\pi [\bruch{r^{2-q}}{2-q}] [/mm] in den Grenzen von [mm] \epsilon [/mm] bis 1
also [mm] 4\pi [\bruch{1-\epsilon^{2-q}}{2-q}]
[/mm]
damit darf q doch alle Werte ausser 2 annehmen damit der Grenzwert existiert oder? vll habe ich irgendwo einen Fehler gemacht aber an sich wird doch Epsilon beliebig klein und somit kann der exponent doch werden was er will ohne dass die Funktion über alle Grenzen wächst.
Korrigiert mich bitte wenn ich irgendwo einen Denkfehler habe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Fr 13.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe nun Zylinderkoordinaten eingesetzt und bekomme das
> Integral:
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> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{r}{r^q} d\phi d x_3 dr}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{r^{1-q} d\phi d x_3 dr}[/mm]
>
>
> die Grenzen für [mm]\phi[/mm] und [mm]x_3[/mm] verstehe ich, aber wie kommst
> du auf die Grenzen für r ? das ist mir noch nicht klar.
Du hast doch
[mm] \varepsilon \le \wurzel{x_1^2+x_2^2} \le [/mm] 1
Mit Polarkooerdinaten ist
[mm] \wurzel{x_1^2+x_2^2} [/mm] = r
>
> wenn ich die Grenzen trotzdem einsetze bekomme ich das
> gleiche wie du.
>
> wenn ich das Integriere bekomme ich [mm]4*\pi [\bruch{r^{2-q}}{2-q}][/mm]
> in den Grenzen von [mm]\epsilon[/mm] bis 1
>
>
> also [mm]4\pi [\bruch{1-\epsilon^{2-q}}{2-q}][/mm]
>
>
>
>
> damit darf q doch alle Werte ausser 2 annehmen damit der
> Grenzwert existiert oder? vll habe ich irgendwo einen
> Fehler gemacht aber an sich wird doch Epsilon beliebig
> klein und somit kann der exponent doch werden was er will
> ohne dass die Funktion über alle Grenzen wächst.
>
Der Grenzwert
[mm] $\limes_{\varepsilon\rightarrow 0} 4\pi [\bruch{1-\epsilon^{2-q}}{2-q}] [/mm] $
ex. nur falls q<2.
Nimm mal q=3. Dannsteht oben im Zähler [mm] 1/\epsilon [/mm] . Und das hat keinen Grenzwert für [mm] \epsilon [/mm] --> 0
FRED
>
> Korrigiert mich bitte wenn ich irgendwo einen Denkfehler
> habe
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Fr 13.02.2009 | | Autor: | sk8terb0i |
Ja Stimmt, nun sehe ich das auch mit dem Integralgrenzen. hab mich nur gewundert weil da normalerweise ja noch [mm] x_3^2 [/mm] drin steht.
bei dem Grenzwert hast du natürlich auch recht, keine Ahnung warum ich das nicht gesehen habe.
Vielen Dank euch beiden für die Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Fr 13.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
fuer q=2 darfst du nicht so integrieren, sondern musst das einzeln machen.
Der Rest ist richtig, nach einsetzen der Grenzen, die ja in der Aufgabe gegeben sind.
Gruss leduart
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