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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 So 12.01.2014 | | Autor: | Katthi |
| Aufgabe | | Wieso ist das Integral über eine Funktion auch Null, wenn diese nur auf dem Inneren der Kurve holomorph und auf dem Träger der Kurve nur stetig ist? |
Hallo Leute,
ich versuche schon irgendwelche Sätze damit in Verbindung zubringen, aber bekomme es einfach nicht zusammen.
Aus dem Cauchysatz für Sterngebiete erhalte ich, dass f holomorph ist ([mm] f: D \to \IC [/mm] , D ein Sterngebiet) und dass dann für alle geschlossenen stückweise diffbaren Kurven in D das Integral über f(z) verschwindet.
Die Definition des Kurvenintegrals liefert mir, dass [mm] f: |\gamma| \to \IC [/mm] stetig.
Aber wie bringe ich nun die Kurve die ich mir anschaue mit der Holomorphie und der Stetigkeit des Trägers zusammen?
Ich habe als Hinweis, dass man die Kurve gegen den Rand laufen lassen soll und aufgrund der gleichmäßigen Stetigkeit von f folgt dann die Behauptung.
Ich kann den Hinweis aber nicht auffüllen, sodass es mir sinnvoll erscheint.
Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Vielen dank schonmal und viele Grüße,
Katthi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Mo 13.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Schreib mal genau auf, wo f definiert und holomorph sein soll.
Wo soll f stetig sein ?
Über welche Kurve wird integriert ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Katthi |
Hallo fred97,
ich habe diese Formulierung auch nur aus einem Gedächtnisprotokoll einer alten Prüfung.
Also im Inneren der Kurve soll f holomorph sein und auf dem Rand der Kurve nur stetig.
Ich denke, dass die Kurve ganz allgemein angenommen werden soll.
Ich mein, für das Innere gilt ja sowieso, dass das Integral verschwindet, wenn f dort holomorph ist. Und wenn die Funktion auf dem Rand stetig ist, kann doch auch keine Singularität vorliegen, die etwas an dem Integral ändern würde, oder?
Definiert ist das Kurvenintegral von f ja so, dass die Funktion [mm] f: |\gamma| \to \IC [/mm] stetig ist. Und der Hauptsatz über Kurvenintegrale sagt, dass das Integral über [mm] \gamma [/mm] gleich Null ist für jede geschlossene stückweise diffbare Kurve [mm] \gamma [/mm] ist.
Aber ich krieg das nicht zusammen. Vorallem weil als kleiner Tipp da was steht mit nem limes gegen den Rand ... :/
Viele Grüße,
Katthi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Berieux |
> Hallo fred97,
>
> ich habe diese Formulierung auch nur aus einem
> Gedächtnisprotokoll einer alten Prüfung.
> Also im Inneren der Kurve soll f holomorph sein und auf
> dem Rand der Kurve nur stetig.
> Ich denke, dass die Kurve ganz allgemein angenommen werden
> soll.
>
> Ich mein, für das Innere gilt ja sowieso, dass das
> Integral verschwindet, wenn f dort holomorph ist. Und wenn
> die Funktion auf dem Rand stetig ist, kann doch auch keine
> Singularität vorliegen, die etwas an dem Integral ändern
> würde, oder?
> Definiert ist das Kurvenintegral von f ja so, dass die
> Funktion [mm]f: |\gamma| \to \IC[/mm] stetig ist. Und der Hauptsatz
> über Kurvenintegrale sagt, dass das Integral über [mm]\gamma[/mm]
> gleich Null ist für jede geschlossene stückweise diffbare
> Kurve [mm]\gamma[/mm] ist.
> Aber ich krieg das nicht zusammen. Vorallem weil als
> kleiner Tipp da was steht mit nem limes gegen den Rand ...
> :/
Hallo.
Die Idee ist die, dass du eine Kurvenschar im Inneren konstruierst die gegen deine Kurve konvergiert.
Wenn du etwa über einen Kreis [mm] K_R [/mm] integrierst ist das leicht. Du nimmst einfach [mm]K_r[/mm] mit [mm]r < R [/mm]. Das Integral über [mm] K_r [/mm] ist dann 0. Dann musst du nur noch begründen wieso du Integration mit Grenzwertbildung vertauschen darfst und du bist fertig.
Für eine allgemeine Kurve muss man sich dann überlegen wie man das genau aufschreiben muss.
Viele Grüße,
Berieux
>
> Viele Grüße,
>
> Katthi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Katthi |
Hallo Berieux,
vielen Dank für deine Hilfe. Genau soetwas habe ich gesucht.
Nur ist mir noch nicht ganz klar, wie ich es aufschreiben würde mit dem lim und dem Integral. Ich lasse dann ja r gegen R laufen.
Vertauschen kann man den lim und das Integral dann mit gleichmäßiger Stetigkeit von f. Nur wie lässt sich dies begründen?
Vielen Dank,
Katthi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Berieux |
> Hallo Berieux,
>
> vielen Dank für deine Hilfe. Genau soetwas habe ich
> gesucht.
> Nur ist mir noch nicht ganz klar, wie ich es aufschreiben
> würde mit dem lim und dem Integral. Ich lasse dann ja r
> gegen R laufen.
> Vertauschen kann man den lim und das Integral dann mit
> gleichmäßiger Stetigkeit von f. Nur wie lässt sich dies
> begründen?
>
Im Falle eines Kreises kannst du das Integral natürlich einfach hinschreiben, weil du ja eine Parametrisierung ( die von r abhängt) kennst. Dann kannst du direkt anhand des Integranden argumentieren wieso Grenzwertbildung und Integral vertauschen.
> Vielen Dank,
>
> Katthi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Di 14.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Im Buch "Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen" von Heinrich Behnke und Friedrich Sommer findest Du auf Seite 119 den
Satz 5b: Ist f im Inneren der rektifizierbaren einfach geschlossenen Kurve C holomorph und auf C stetig, so ist
[mm] \integral_{C}^{}{f(z) dz}=0.
[/mm]
Schau Dir den Beweis dort mal an.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:22 Di 14.01.2014 | | Autor: | Katthi |
Hallo fred 97, hallo Berieux,
vielen Dank Berieux für deine Hilfe, aber mir fehlt genau diese Begründung.. :/
Danke fred97 für den Tipp. Nur verstehe ich den Beweis nicht so ganz. Ich teile das Integral, welches ich berechnen möchte also in viele kleine Integrale auf, die aus Polygonen bestehen. Und Integrale über Polygone verschwinden?! Heißt es dann, dass die Integrale mein Integral approximieren, aber diese Polygone liegen alle innerhalb der Kurve. Somit sind alle diese Integrale gleich Null, weil die Polygone geschlossen sind, und somit ist auch das gesuchte gleich Null??
Danke für eure Hilfe :)
Katthi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 18.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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