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Integral über Dreieck: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 Fr 27.04.2012
Autor: eps

Aufgabe
Wie sieht dieses Integral aus? Wie kann ich das anders aufschreiben und berechnen. Ich denke das ist ein Dreifach-Integral, aber mit welchen Grenzen?

[mm] \integral_{\Delta}{(xa+yb+zc)^2}dF [/mm] mit [mm] \Delta=\{(x,y,z):x,y,z\ge 0, x+y+z=1\} [/mm]

        
Bezug
Integral über Dreieck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:12 Fr 27.04.2012
Autor: rainerS

Hallo!

> Wie sieht dieses Integral aus? Wie kann ich das anders
> aufschreiben und berechnen. Ich denke das ist ein
> Dreifach-Integral, aber mit welchen Grenzen?
>  [mm]\integral_{\Delta}{(xa+yb+zc)^2}dF[/mm] mit
> [mm]\Delta=\{(x,y,z):x,y,z\ge 0, x+y+z=1\}[/mm]  

Nein, das ist ein Integral über die Oberfläche eines Tetraeders mit Kantenlänge 1 und mit den Ecken in den Punkten $(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$.

Du fängst mit dem Integral über eine der drei Koordinaten an, z.B. x. Wegen [mm] $x,y,z\ge0$ [/mm] und [mm]x+y+z=1[/mm] liegen die möglichen Werte von x zwischen 0 und 1. Beim inneren Integral musst du berücksichtigen, dass [mm] $x+y\le [/mm] 1$ ist, also die obere Grenze $1-x$ sein muss.

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
                
Bezug
Integral über Dreieck: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 Fr 27.04.2012
Autor: eps

versteh ich das dann richtig, dass es äquivalent zu folgendem ist:

[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1-x}\integral_{0}^{1-x-y}{{{(xa+yb+zc)^2 dz}dy}dx} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Integral über Dreieck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Fr 27.04.2012
Autor: rainerS

Hallo!

> versteh ich das dann richtig, dass es äquivalent zu
> folgendem ist:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1-x}\integral_{0}^{1-x-y}{{{(xa+yb+zc)^2 dz}dy}dx}[/mm]

Nein, wie ich schon schrieb ist es ein Oberflächenintegral. z ist doch durch die Bedingung $z=1-x-y$ bereits festgelegt!

  [mm] \integral_{0}^{1}\left(\integral_{0}^{1-x}{{(xa+yb+(1-x-y)c)^2 dy}\right)dx}[/mm]

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
Integral über Dreieck: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:07 Fr 27.04.2012
Autor: eps

achso, ja, jetzt versteh ich es - vielen dank!


Bezug
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