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Hallo,
kann mir jemand beim lösen dieses Integrals behilflich sein. Ich habe das Gefühle es ist ganz einfach, weiß aber trotzdem nicht so richtig weiter?
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{(4-x^2)^3} dx}
[/mm]
Wäre super nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte!
tinky1234
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Do 20.08.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Substituiere mal x:=2sin(t).
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Do 20.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
> Substituiere mal x:=2sin(t).
Also ich hab auch mal versucht das Integral zu lösen, vergeblich...
Wie kommt man auf solche Substitutionen?
Gibts da irgendnen Trick, irgendwas, woran man sieht, dass man sowas machen muss?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Do 20.08.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Immer wenn z.B. unter einer Wurzel [mm] 1-x^2 [/mm] steht, kann man es mit der Ersetzung x:=sin(t) versuchen, weil 1-sin²t=cos²t ist und deswegen nur noch Kosinusausdrücke im Integral rumstreunen, die man dann fast immer mit partieller Integration bändigen kann.
Teste es mal an [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}. [/mm] Damit kommt man im Endeffekt bequem drauf, dass das Integral davon arcsin(x)+C ist.
Wenn nun statt 1 eine andere Zahl steht, kann man die Ersetzung so anpassen, dass man diese Zahl dann ausklammern kann.
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{9-x^2}} dx}
[/mm]
Ersetzung: x=3sin(t); [mm] \bruch{dx}{dt}=3cos(t)
[/mm]
Damit kommt man auf [mm] \integral_{}^{}{\bruch{3cos(t)}{\wurzel{9-9sin²t}} dt}. [/mm] Wie du nun siehst, kann man im Nenner unter der Wurzel eine 9 ausklammern und hat wieder 1-sin²t=cos²t da zu stehen.
Teufel
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Hallo nochmal,
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> Immer wenn z.B. unter einer Wurzel [mm]1-x^2[/mm] steht, kann man es
> mit der Ersetzung x:=sin(t) versuchen, weil 1-sin²t=cos²t
> ist und deswegen nur noch Kosinusausdrücke im Integral
> rumstreunen, die man dann fast immer mit partieller
> Integration bändigen kann.
> Teste es mal an [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}.[/mm]
> Damit kommt man im Endeffekt bequem drauf, dass das
> Integral davon arcsin(x)+C ist.
>
> Wenn nun statt 1 eine andere Zahl steht, kann man die
> Ersetzung so anpassen, dass man diese Zahl dann ausklammern
> kann.
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{9-x^2}} dx}[/mm]
> Ersetzung:
> x=3sin(t); [mm]\bruch{dx}{dt}=3cos(t)[/mm]
>
> Damit kommt man auf
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{3cos(t)}{\wurzel{9-9sin²t}} dt}.[/mm]
> Wie du nun siehst, kann man im Nenner unter der Wurzel eine
> 9 ausklammern und hat wieder 1-sin²t=cos²t da zu stehen.
Aber was ich jetzt nicht verstehe ist folgendes: Wenn ich die 9 ausklammer und für 1-sin^2t cos^2t unter die Wurzel schreibe.
Dann müsste sich doch der cos Ausdruck wegkürzen und man erhält nur noch eine Zahl die integriert werden muss. Wieso ist dann das Integral davon etwas mir arcsin?? Irgendetwas verstehe ich hier nicht.
Kann mir jemand weiterhelfen??
Gruß tinky
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Hallo tinky1234,
> Aber was ich jetzt nicht verstehe ist folgendes: Wenn ich
> die 9 ausklammer und für 1-sin^2t cos^2t unter die
> Wurzel schreibe.
> Dann müsste sich doch der cos Ausdruck wegkürzen und man
> erhält nur noch eine Zahl die integriert werden muss.
> Wieso ist dann das Integral davon etwas mir arcsin??
> Irgendetwas verstehe ich hier nicht.
Na du berechnest das Integral von einer Konstanten, hier 1, nach der Variable t
Dh. du hast nach der Substitution [mm] $\int{1 \ dt}$
[/mm]
Das ist $t \ + \ C$
Du suchst aber mit deinem Ausgangsintegral das Integral in x !!
Das musst du also nun gem. [mm] $x=3\sin(t)$ [/mm] resubstituieren, was kommt dabei heraus?
> Kann mir jemand weiterhelfen??
Ja 
>
> Gruß tinky
LG
schachuzipus
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Oh,
das mit dem resubstituieren habe ich ganz vergessen. Blöder Fehler!
Als Ergebnis bekomme ich dann [mm] \bruch{1}{3} [/mm] arcsinx + C
Ist das richtig?
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Hallo nochmal,
> Oh,
> das mit dem resubstituieren habe ich ganz vergessen.
> Blöder Fehler!
>
> Als Ergebnis bekomme ich dann [mm]\bruch{1}{3}[/mm] arcsinx + C
>
> Ist das richtig?
Leider nicht, mit [mm] $x=3\sin(t)$ [/mm] ist $t=...$
Das musst du nochmal nachrechnen ...
Gruß
schachuzipus
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t = arcsin [mm] \bruch{x}{3} [/mm] ???
Bin mir ehrlich gesagt nicht sicher.......
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Do 20.08.2009 | | Autor: | tinky1234 |
super, vielen dank!!!
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--- stimmt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
