Integral lösen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Do 11.09.2008 | | Autor: | stowoda |
Hallo!
Wieso ist eigentlich:
[mm] \integral{\bruch{1}{x^{2}+1}}dx=Arctan(x)
[/mm]
und
[mm] \integral{\bruch{1}{(x+\bruch{1}{2})^{2}+(\bruch{\wurzel{3}}{2})^{2}}}dx=\bruch{2Arctan(\bruch{1+2x}{\wurzel{3}})}{\wurzel{3}}
[/mm]
gibt es hier irgendeine Regel? Ich sehe die Zusammenhänge nicht.
Grüße
stowoda
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Do 11.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo stowoda!
> Wieso ist eigentlich:
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{x^{2}+1}}dx=Arctan(x)[/mm]
Tja, entweder sagt man:
Weil die Ableitung vom [mm] $\arctan(x)$ [/mm] exakt [mm] $\bruch{1}{1+x^2}$ [/mm] ergibt.
Oder das Integral mittels der Substitution $x \ := \ [mm] \tan(u)$ [/mm] lösen.
> [mm]\integral{\bruch{1}{(x+\bruch{1}{2})^{2}+(\bruch{\wurzel{3}}{2})^{2}}}dx=\bruch{2Arctan(\bruch{1+2x}{\wurzel{3}})}{\wurzel{3}}[/mm]
>
>
> gibt es hier irgendeine Regel?
Ja, man versucht den zu integrierenden Term auf die Form [mm] $\bruch{1}{1+(...)^2}$ [/mm] zu bringen, um die obige Regel anwenden zu können.
Klammere im Nenner den Term [mm] $\left(\bruch{\wurzel{3}}{2}\right)^2$ [/mm] aus.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
