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Hi,
ich möchte folgendes Integral lösen:
[mm] $U_{eff}^2=\bruch{1}{T} \integral_{0}^{T}{u^2[sin(wt)-sin(wt-120 °)]^2\ \ dt}$
[/mm]
Als erstes würde ich die Konstante vor das Integral ziehen:
[mm] $U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \integral_{0}^{T}{[sin(wt)-sin(wt-120 °)]^2\ \ dt}$
[/mm]
Jetzt würde ich erstmal die Bin. Formel auflösen:
[mm] $U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \integral_{0}^{T}{sin^2(wt)\green{-2sin(wt)sin(wt-120 °)}+sin^2(wt-120 °)\ \ dt}$
[/mm]
Ab hier vermute ich, gibt es einen Trick (bei dem grün markierten) mit dem sin, dass ich weiter vereinfachen kann.
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!
Kann ich eigentlich irgendwo diese sin und cos Tricks nachschlagen? Das müssten doch irgendwann immer die selben sein.
Danke
Grüße Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:15 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Schnien |
Ich empfehle dir das Tafelwerk. Da steht alles drin :). Oder eben jede sonstige Mathematische Formelsammlung. Im Internet findest du bestimmt auch was. z.B. unter http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie
Folgende Formel sollte dir weiterhelfen:
sin(a)sin(b) = 1/2 (cos(a-b) - cos(a+b))
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> Ich empfehle dir das Tafelwerk. Da steht alles drin :).
> Oder eben jede sonstige Mathematische Formelsammlung. Im
> Internet findest du bestimmt auch was. z.B. unter
> http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie
> Folgende Formel sollte dir weiterhelfen:
> sin(a)sin(b) = 1/2 (cos(a-b) - cos(a+b))
Hi,
vielen Dank für den Link und die Formel.
Wie nennt man solche Formeln sin(a)sin(b) = 1/2 (cos(a-b) - cos(a+b)) ??? Die haben doch sicher einen speziellen Namen? Ich würde es deshalb gerne Wissen, dass ich weiß, wonach ich Suchen muss wenn ich mal wieder Hänge.
Jetzt kann ich mal versuchen die Aufgabe weiter/zuende zu rechnen.
Danke
Grüße Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Mi 08.08.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Thomas
Diese Formeln findest du unter den sogenannten Additionstheoremen der trigonometrischen Funktionen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:49 Mi 08.08.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi Marius,
vielen Dank.
Grüße thomas
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Hi,
ich möchte folgendes Integral lösen:
[mm] $U_{eff}^2=\bruch{1}{T} \integral_{0}^{T}{u^2[sin(wt)-sin(wt-120 °)]^2\ \ dt}$
[/mm]
[mm] $U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \integral_{0}^{T}{[sin(wt)-sin(wt-120 °)]^2\ \ dt}$
[/mm]
[mm] $U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \integral_{0}^{T}{sin^2(wt)\green{-2sin(wt)sin(wt-120 °)}+sin^2(wt-120 °)\ \ dt}$
[/mm]
Zu Anfang hing ich ab dieser Stelle, doch mit der Formel:
sin(a)sin(b) = 1/2 (cos(a-b) - cos(a+b))
habe ich weitergearbeitet.
[mm] $U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \integral_{0}^{T}{sin^2(wt)\green{-2*(\bruch{1}{2}*(cos(wt-(wt-120°))-cos(wt+wt-120°)))}+sin^2(wt-120 °)\ \ dt}$
[/mm]
Ich hoffe, dass ich bis hier hin alles richtig gemacht habe. Ich werde jetzt vereinfachen:
[mm] $U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \integral_{0}^{T}{sin^2(wt)\green{-2*(\bruch{1}{2}*(cos(wt-wt+120°))-cos(wt+wt-120°)))}+sin^2(wt-120 °)\ \ dt}$
[/mm]
[mm] $U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \integral_{0}^{T}{sin^2(wt)\green{-(cos(120°)-cos(wt+wt-120°))}+sin^2(wt-120 °)\ \ dt}$
[/mm]
[mm] $U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \integral_{0}^{T}{sin^2(wt)\green{-(cos(120°)-cos(2*wt-120°))}+sin^2(wt-120 °)\ \ dt}$
[/mm]
Stimmt das, was ich bis hier hin getan habe? Wenn ja, wie kann ich es jetzt noch weiter vereinfachen?
Danke
Grüße Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Schnien |
Ja, das ist soweit richtig. Jetzt rechnest du noch den cos(120°) aus. Schreibst alles als einzelne Integrale und substituierst. Weißt du, was ich meine, oder soll ich es aufschreiben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Schnien |
Achja, [mm] \integral{sin^2(x) dx} [/mm] = 1/2 (x-sin(x)cos(x))
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 Mi 08.08.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi,
dankeschön für deine Hilfe! Der cos von 120° ist -1/2.
Ich habe auch eine Idee wie ich es berechnen könnte. Man könnte doch den Effektivwert für einen [mm] sin^2(wt) [/mm] berechnen und dieser Effektivwert kommt auch bei [mm] sin^2(wt+90) [/mm] etc. heraus, da es sich um den Effektivwert handelt und das +90, -90 etc. ist nur eine Verschiebung des "normalen" sind.
Grüße Thomas
> Ja, das ist soweit richtig. Jetzt rechnest du noch den
> cos(120°) aus. Schreibst alles als einzelne Integrale und
> substituierst. Weißt du, was ich meine, oder soll ich es
> aufschreiben?
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[mm] U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \integral_{0}^{T}{[sin(wt)-sin(wt-120 °)]^2\ \ dt}
[/mm]
Es gilt: sin(a-b)=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)
[mm] U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \integral_{0}^{T}{[sin(wt)-(sin(wt)*cos(120°) - sin(120°)*cos(wt))]^2\ \ dt}
[/mm]
[mm] U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \integral_{0}^{T}{[\bruch{3}{2} *sin(wt)+\bruch{\wurzel{3}}{2}*cos(wt)]^2\ \ dt}
[/mm]
Jetzt Bin. Formel:
[mm] U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \integral_{0}^{T}{[\bruch{9}{4} *sin^2(wt)+\bruch{3*\wurzel{3}}{2}*sin(wt)*cos(wt) +\bruch{3}{4}*cos^2(wt)]\ \ dt}
[/mm]
Es gilt: sin(2a) = 2sin(a)cos(a) [mm] \Rightarrow \bruch{sin(2*wt)}{2}=\sin(wt)*\cos(wt)
[/mm]
[mm] U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \integral_{0}^{T}{[\bruch{9}{4} *sin^2(wt)+\bruch{3*\wurzel{3}}{4}*sin(2*wt) +\bruch{3}{4}*cos^2(wt)]\ \ dt}
[/mm]
[mm] U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \integral_{0}^{T}{[sin^2(wt)+cos^2(wt)+\bruch{5}{4} *sin^2(wt)-\bruch{1}{4}*cos^2(wt)+\bruch{3*\wurzel{3}}{4}*sin(2*wt)]\ \ dt}
[/mm]
[mm] U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \integral_{0}^{T}{[1+\bruch{5}{4} *sin^2(wt)-\bruch{1}{4}*cos^2(wt)+\bruch{3*\wurzel{3}}{4}*sin(2*wt)]\ \ dt}
[/mm]
[mm] U_{eff}^2=u^2+\bruch{u^2}{4*T} \integral_{0}^{T}{[5 *sin^2(wt)-cos^2(wt)+3*\wurzel{3}*sin(2*wt)]\ \ dt}
[/mm]
...
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Hi,
ich habe eine Idee. Bei der Aufgabe geht es um den Effektivwert des Sinus. Es spielt dabei keine Rolle für den Effektivwert ob der Sinus +90, -90,... ist. Da dies nur die Phasenverschiebung angibt. Deshalb habe ich mir überlegt, ich berechne den Effektivwert für "eine Phase" und dann kann ich diese bekannten Effektivwerte für das etwas größere Integral anwenden.
Ich habe mal folgendes Integral berechnet:
$U_{eff}^2=\bruch{1}{T} \integral_{0}^{T}{(u * sin(wt))^2\ \ dt}$
$U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \integral_{0}^{T}{sin^2(wt)\ \ dt}$
Jetzt habe ich von jemand folgenden "Trick" verraten bekommen: $\red{sin^2(x)=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}cos(2x)}$
Dieser müsste stimmen und davon kann ich relativ einfach die Stammfunktion bestimmen:
$U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \integral_{0}^{T}{\green{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}cos(2wt)}\ \ dt}$
dies kann ich jetzt umformen:
$U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T}\red{(} \integral_{0}^{T}{\green{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}cos(2wt)}\ \ dt}\red{)}$
$U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T}\red{(} \integral_{0}^{T}{\bruch{1}{2}\ \ dt} - \bruch{1}{2} \integral_{0}^{T}{ cos(2wt)\ \ dt}\red{)}}$
$U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \red{(} \vektor{\bruch{1}{2}t}_{0}^{T} - \bruch{1}{2} \vektor{ \bruch{1}{2w} sin(2wt) }_{0}^{T} \red{)}}$
$U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \red{(} \bruch{1}{2}T - \bruch{1}{2} \vektor{ \bruch{1}{2w} sin(2wT) } \red{)}}$
$U_{eff}^2=\bruch{u^2}{T} \red{(} \bruch{1}{2}T - \bruch{1}{4w} sin(2wT) } \red{)}$
$U_{eff}^2=\bruch{u^2}{2} - \bruch{u^2}{4wT} sin(2wT)$
$U_{eff}^2= \blue{\bruch{u^2}{2}} - \bruch{u^2}{4wT} sin(2wT)$
$U_{eff}^2= \underbrace{\blue{\bruch{u^2}{2}}}_{Bekannt\ dass\ dies\ der\ Effektivwert\ von\ einem\ Sinus} - \bruch{u^2}{4wT} sin(2wT)$
$U_{eff}^2= \underbrace{\blue{\bruch{u^2}{2}}}_{Bekannt\ dass\ dies\ der\ Effektivwert\ von\ einem\ Sinus} \underbrace{- \bruch{u^2}{4wT} sin(2wT)}_{Dies\ muesste\ dann\ 0\ sein\ aber\ ich\ bin\ mir\ nicht\ sicher}$
Stimmt das was ich getan habe? Kann man nicht irgendwie den hinteren Teil 0 werden lassen, weil dann käme das richtige Ergebnis heraus.
Danke
Grüße Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Schnien |
Deine Rechnung ist soweit richtig. Gibt es noch irgendwelche Anforderungen an w? Der hintere Teil ist nämlich nur Null, wenn w ein Vielfaches von [mm] \pi/2T [/mm] ist. (oder eben u=0). Kenn mich leider überhaupt nicht mit Effektivwerten aus.
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> Deine Rechnung ist soweit richtig. Gibt es noch
> irgendwelche Anforderungen an w? Der hintere Teil ist
> nämlich nur Null, wenn w ein Vielfaches von [mm]\pi/2T[/mm] ist.
> (oder eben u=0). Kenn mich leider überhaupt nicht mit
> Effektivwerten aus.
Hi,
also $w = [mm] 2*\pi*f$ [/mm] und soweit ich weiß ist [mm] $f=\bruch{1}{T}$, [/mm] dann müsste es doch 0 sein oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Schnien |
Wenn T = T' ist ja. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mi 08.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Thomas
Es geht hier ja nicht nur um das Integral, sondern um den Effektivwert.
Du kennst den einer normalen sin-fkt. Also solltest du -mit Zeigerdiagramm ddie Gesamtamplitude ausrechnen- kennst du auch [mm] \wurzel{3}*u [/mm] und dann den Effektivwert! dass du von 0 bist T integrierst ist hier nicht richtig, da das Nicht die Periode der Gesamtspannung ist.
Gruss leduart
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