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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 So 12.11.2006 | | Autor: | Grendel |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{-0.5}^{1.5}{e*x^{3}*9*e^{0.23x} dx} [/mm] |
Ich habe die Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo! Ich bin im Moment für eine Matheklausur am Montag am lernen, in der es um Integralrechnung geht. Um ganz sicher zu gehen, habe ich mir selbst ein relativ schweres Integral zusammengebastelt und versucht es zu lösen. Es geht alles auf, nur das Ergebnis stimmt nicht mit dem meines Computers überein. Vielleicht kann jemand mal meine Rechnung überfliegen und mir den Fehler heraussuchen.
IG = [mm] \integral_{-0.5}^{1.5}{e*x^{3}*9*e^{0.23*x} dx} [/mm] =
[mm] [ex^{3}\bruch{1}{0.23}*9*e^{0.23*x}](-0.5 [/mm] bis 1.5) - [mm] \integral_{-0.5}^{1.5}{3*e*x^{2}*\bruch{1}{0.23}*9*e^{0.23*x} dx}
[/mm]
[mm] [x^{3}*\bruch{9*e}{0.23}*e^{0.23*x}](-0.5 [/mm] bis 1.5) - [mm] \underbrace{\integral_{-0.5}^{1.5}{x^{2}*\bruch{27*e}{0.23}*e^{0.23*x} dx}}_{=IT1}
[/mm]
IT1 = [mm] \integral_{-0.5}^{1.5}{x^{2}*\bruch{27*3}{0.23}*e^{0.23*x} dx} [/mm] =
[mm] [x^{2}*\bruch{27*e}{0.23}*\bruch{1}{0.23}*e^{0.23*x}](-0.5 [/mm] bis 1.5) - [mm] \integral_{-0.5}^{1.5}{2*x*\bruch{27*e}{0.23}*\bruch{1}{0.23}*e^{0.23*x}*e^{0.23*x} dx} [/mm] =
[mm] [x^{2}*\bruch{27*e}{0.0529}*e^{0.23*x}](-0.5 [/mm] bis 1.5) - [mm] \underbrace{\integral_{-0.5}^{1.5}{x*\bruch{54*e}{0.0529}*e^{0.23*x} dx}}_{=IT2}
[/mm]
IT2 = [mm] \integral_{-0.5}^{1.5}{x*\bruch{54*e}{0.0529}*e^{0.23*x} dx} [/mm] =
[mm] [x*\bruch{54*e}{0.012167}*e^{0.23*x}](-0.5 [/mm] bis 1.5) - [mm] \integral_{-0.5}^{1.5}{\bruch{54*e}{0.012167}*e^{0.23*x} dx} [/mm] =
[mm] [x*\bruch{54*e}{0.012167}*e^{0.23*x} [/mm] - [mm] \bruch{54*e}{2.79841*10^{-3}*e^{0.23*x}}](-0.5 [/mm] bis 1.5)
IG = [mm] [x^{3}*\bruch{9*e}{0.23}*e^{0.23*x}-x^{2}*\bruch{27*e}{0.0529}*e^{0.23*x}+x*\bruch{54*e}{0.012167}*e^{0.23*x}-\bruch{54*e}{2.79841*10^{-3}}*e^{0.23*x}](-0.5 [/mm] bis 1.5) =
[mm] [e^{0.23*x}*(x^{3}*\bruch{9*e}{0.23}-x^{2}*\bruch{27*e}{0.0529}+x*\bruch{54*e}{0.012167}-\bruch{54*e}{2.79841*10^{-3}})](-0.5 [/mm] bis 1.5)
Dann habe ich alles eingesetzt und in den Taschenrechner eingegeben, der mit dann -66.29 als Ergebins ausgespuckt hat. Aber, wie gesagt, mein Computer gibt mir ein anderes Ergebnis (ich glaube ungefähr 40).
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> [mm]\integral_{-0.5}^{1.5}{e*x^{3}*9*e^{0.23x} dx}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es geht ja um die Lösung des Integrals
[mm] 9e\integral_{-0.5}^{1.5}{x^{3}*e^{0.23x} dx}.
[/mm]
Deine Lösung überfliegend stelle ich fest, daß Du es mit mehrmaliger partieller Integration gelöst hast, was richtig ist und auch das Wichtige an dieser Aufgabe.
Ob und wo Du Dich eventuell vertan hast, kann ich Dir aber nicht sagen, es ist mir zu umständlich mit den ganzen Zahlen zu rechnen.
Gruß v. Angela
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Solche "Rechenaufgaben" sind absolut "uncool". Was soll denn hier geübt werden? Wohl die partielle Integration. Das ist ja prinzipiell nicht schlecht. Aber letztlich wird es wohl so sein, daß man das richtige Ergebnis nicht herausbekommt, weil man irgendwo einen Vorzeichenfehler macht oder eine Kommazahl falsch von der Zeile darüber abschreibt oder ... oder ... Das ist pure Leuteschinderei.
Wenn man sich schon schindet, dann bitte nur "in angemessenem Rahmen". Das ist nämlich allgemein viel einfacher zu lösen.
[mm]\int~x^n \operatorname{e}^{\lambda x}~\mathrm{d}x = \frac{1}{\lambda} \, x^n \operatorname{e}^{\lambda x} - \frac{n}{\lambda} \int~x^{n-1} \operatorname{e}^{\lambda x}~\mathrm{d}x[/mm]
Diese Rekursionsformel erhält man, wenn man sich für [mm]n[/mm] eine beliebige positive ganze Zahl und für [mm]\lambda[/mm] eine beliebige von [mm]0[/mm] verschiedene reelle Zahl denkt.
Und jetzt spezialisiert man [mm]n=3[/mm], im verbleibenden Integral dann [mm]n=2[/mm], schließlich [mm]n=1[/mm], bis man bei
[mm]\int~\operatorname{e}^{\lambda x}~\mathrm{d}x = \frac{1}{\lambda} \, \operatorname{e}^{\lambda x}[/mm]
ankommt:
[mm]\int~x^3 \operatorname{e}^{\lambda x}~\mathrm{d}x = \frac{1}{\lambda} \, x^3 \operatorname{e}^{\lambda x} - \frac{3}{\lambda} \left( \frac{1}{\lambda} \, x^2 \operatorname{e}^{\lambda x} - \frac{2}{\lambda} \left( \frac{1}{\lambda} \, x \operatorname{e}^{\lambda x} - \frac{1}{\lambda} \cdot \frac{1}{\lambda} \, \operatorname{e}^{\lambda x} \right) \right)[/mm]
[mm]= \frac{1}{\lambda} \, x^3 \operatorname{e}^{\lambda x} - \frac{3}{\lambda^2} \, x^2 \operatorname{e}^{\lambda x} + \frac{6}{\lambda^3} \, x \operatorname{e}^{\lambda x} - \frac{6}{\lambda^4} \, \operatorname{e}^{\lambda x}[/mm]
[mm]= \frac{\operatorname{e}^{\lambda x}}{\lambda^4} \, \left( \lambda^3 x^3 - 3 \lambda^2 x^2 + 6 \lambda x - 6 \right)[/mm]
Der Integralwert ist daher
[mm]\int_{-0{,}5}^{1{,}5}~9 \operatorname{e} x^3 \operatorname{e}^{0{,}23 x}~\mathrm{d}x = 9 \operatorname{e} \cdot \left( \frac{\operatorname{e}^{0{,}23 \cdot 1{,}5}}{0{,}23^4} \, \left( 0{,}23^3 \cdot 1{,}5^3 - 3 \cdot 0{,}23^2 \cdot 1{,}5^2 + 6 \cdot 0{,}23 \cdot 1{,}5 - 6 \right) \right.[/mm]
[mm]\left. - \frac{\operatorname{e}^{0{,}23 \cdot \left( -0{,}5 \right)}}{0{,}23^4} \, \left( 0{,}23^3 \cdot \left( -0{,}5 \right)^3 - 3 \cdot 0{,}23^2 \cdot \left( -0{,}5 \right)^2 + 6 \cdot 0{,}23 \cdot \left(-0{,}5 \right) - 6 \right) \right) \approx 40{,}52[/mm]
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