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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Fr 08.09.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
ich hab da noch ein schnuckeliges Integral zu lösen.
[mm] \integral{x*\wurzel{1+9x^4}dx}=.....
[/mm]
heraus kommt [mm] \bruch{x²}{4}*\wurzel{1+9x^4}+\bruch{1}{12}*arsinh(3x²)+C
[/mm]
oder auch [mm] \bruch{x²}{4}*\wurzel{1+9x^4}+\bruch{1}{12}*ln(3x²+\wurzel{1+9x^4})+C
[/mm]
aber den Weg dorthin finde ich nicht wer Lust hat kann sich ja mal daran versuchen.
was ich versucht hatte, war mit: [mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{1+x²}}dx}=arsinh(x) [/mm] und der Substitution x=a*sinh(u) woraus dx=a*cosh(u)du folgt.
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
ich gebs auf.......
....... schönes Wochenende und
Liebe Grüße
Herby
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> Hi,
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Hoi
> ich hab da noch ein schnuckeliges Integral zu lösen.
> [mm]\integral{x*\wurzel{1+9x^4}dx}=.....[/mm]
>
So spontan würde ich da mal zuerst partiell integrieren, dabei natürlich den Faktor x integrieren. Den ersten Summanden hast du dann schon fast. Für das verbleibende Integral scheint (sofern die Lösung richtig ist) die Substiturion [mm]u = 3*x^{2}[/mm] von nutzen zu sein.
>
>
> aber den Weg dorthin finde ich nicht wer Lust hat kann
> sich ja mal daran versuchen.
>
>
> was ich versucht hatte, war mit:
> [mm]\integral{\bruch{1}{\wurzel{1+x²}}dx}=arsinh(x)[/mm] und der
> Substitution x=a*sinh(u) woraus dx=a*cosh(u)du folgt.
>
Wieso *a ? Nur x=sinh(u)
>
>
>
>
>
> ich gebs auf.......
Niemals!
>
> ....... schönes Wochenende und
>
>
> Liebe Grüße
>
> Herby
Ciao
EvenSteven
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Sa 09.09.2006 | | Autor: | riwe |
hallo herby,
aufgeben tut man einen brief, sonst nichts und niemals.
1) setze [mm] 3x^{2}=u
[/mm]
2) setze nun u = sinh t
das gibt I = [mm] \frac{1}{6}\integral_{}^{}{cosh^{2}t dt}
[/mm]
3)und nun das übliche: 2malige partielle integration noch cosh t und du bist am ziel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Sa 09.09.2006 | | Autor: | riwe |
[mm]3x^{2}=u\rightarrow 3\cdot 2x\cdot dx = du \rightarrow x\cdot dx = \frac{1}{6}du[/mm]
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> Hallo,
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> ich hatte mir das nochmal angeschaut und ein bisschen
> rumgedoktert, aber so ganz erfolgreich war das nicht
> ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
>
> Wenn ich erst 3x²=u setze und dann u=sinh(t), dann ergibt
> sich ja für das x vor der Wurzel [mm]x=\wurzel{1/3*sinh(t)}[/mm]
>
> Was mach ich denn damit ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
>
>
> Liebe Grüße
> Herby
Du machst erst die Substitution 3x²=u und formst dann dieses Integral etwas um, du wirst etwas ein Integral mit [mm] $\wurzel{1+u^2}$ [/mm] kriegen und erst jetzt die nächste Substitution verwenden.
...
[mm] $1+(\sinh x)^2=(\cosh x)^2$
[/mm]
...
Gruss
EvenSteven
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mo 11.09.2006 | | Autor: | Herby |
hi,
genau da liegt mein Problem - das umformen, was zieh ich denn dann in die Wurzel rein oder raus?
Die Identität von (cosh(t))² ist klar
lg
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Mo 11.09.2006 | | Autor: | riwe |
[mm] I=\integral_{}^{}{ x\sqrt{1+9x^{4}}dx}
[/mm]
[mm]3x^{2}=u\rightarrow 6x\cdot dx=du \rightarrow x\cdot dx=\frac{1}{6}du[/mm]
[mm] 6I=\integral_{}^{}{\sqrt{1+u^{2}} du}
[/mm]
u=sinh [mm] t\rightarrow [/mm] du = cosh [mm] t\cdot [/mm] dt
[mm] 6I=\integral_{}^{}{ cosht\cdot cosht\cdot dt}
[/mm]
partielle integration
[mm] 6I=sinht\cdot cosht-\integral_{}^{}{sinh^{2}t \cdot dt}
[/mm]
[mm] 6I=sinht\cdot cosht-\integral_{}^{}{(cosh^{2}t-1) dt}
[/mm]
[mm] 6I=sinht\cdot cosht-\integral_{}^{}{cosh^{2}t \cdot dt}+t
[/mm]
[mm]12I=sinht\cdot cosht+t[/mm]
und jetzt alle substitutionen zurück
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![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]"){kind=small}
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
- Mist, ich wollte einfach nur mal nicht integrieren..........
![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]"){kind=small}
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
