Integral f(x,y) dxdy < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] \integral_{-2}^{2}{\integral_{0}^{2}{ye^{x^2y^2} dx} dy} [/mm] |
Hi Ihr Lieben, eigentlich scheint die Aufgabe gar nicht so kompliziert, aber irgenwie steh ich wohl auf dem Schlauch :-(
Ich wollte zuerst der innere Intergral (bzgl. x) berechnen und dann das äußerde (bzgl. y) aber beim Bilden der Stammfunktion komm ich nicht weiter, gibts da irgendeinen Trick, auf den ich nicht komme? Danke für Eure Hilfe!
[mm] \integral_{-2}^{2}{\integral_{0}^{2}{ye^{x^2y^2} dx} dy}=\integral_{-2}^{2}{[F_{x}(x,y)]^2_{0} dy}
[/mm]
Sonnige Grüße Susi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Mi 11.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie:
> [mm]\integral_{-2}^{2}{\integral_{0}^{2}{ye^{x^2y^2} dx} dy}[/mm]
>
> Hi Ihr Lieben, eigentlich scheint die Aufgabe gar nicht so
> kompliziert, aber irgenwie steh ich wohl auf dem Schlauch
> :-(
>
> Ich wollte zuerst der innere Intergral (bzgl. x) berechnen
> und dann das äußerde (bzgl. y) aber beim Bilden der
> Stammfunktion komm ich nicht weiter, gibts da irgendeinen
> Trick, auf den ich nicht komme? Danke für Eure Hilfe!
>
> [mm]\integral_{-2}^{2}{\integral_{0}^{2}{ye^{x^2y^2} dx} dy}=\integral_{-2}^{2}{[F_{x}(x,y)]^2_{0} dy}[/mm]
>
> Sonnige Grüße Susi
Berechne doch erstmal , bei festem x, das Integral
[mm] \integral_{-2}^{2}{ye^{x^2y^2} dy}.
[/mm]
Es ist =0 !
FRED
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Ohh ja stimmt, ich kann die Reinfolge der Integrale ja vertauschen (Fubini) und dann recht einfach mit substitution die Stammfunktion über f(x,y) bzgl. y bestimmen. Das Integral ist dann 0 folglich:
[mm] \integral_{0}^{2}{0 dx} [/mm] = c mit [mm] c\in [/mm] R
oder? LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Mi 11.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ohh ja stimmt, ich kann die Reinfolge der Integrale ja
> vertauschen (Fubini) und dann recht einfach mit
> substitution die Stammfunktion über f(x,y) bzgl. y
> bestimmen. Das Integral ist dann 0 folglich:
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{0 dx}[/mm] = c mit [mm]c\in[/mm] R
>
> oder?
Ja. Zeig mal Deine Rechnung, denn bei der Bestimmung einer Stammfunktion von f(x,y) bzgl. y ist eine Fallunterscheidung nötig !
FRED
> LG
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[mm] \integral_{-2}^{2}{\integral_{0}^{2}{ye^{x^2y^2} dx}dy}=\integral_{0}^{2}{\integral_{-2}^{2}{ye^{x^2y^2} dy}dx}
[/mm]
Substituiton: [mm] \phi(y)=y^2=t; \phi'(y)=2y; dt=\phi'(y)dy \Rightarrow dy=\bruch{dt}{2y}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2}{\integral_{\phi{-2}}^{\phi{2}}{ye^{x^2t} \bruch{dt}{2y}}dx}=\integral_{0}^{2}{\integral_{\phi{-2}}^{\phi{2}}{ye^{x^2t} \bruch{dt}{2y}}dx}=\integral_{0}^{2}{\integral_{\phi{-2}}^{\phi{2}}{0,5e^{x^2t} dt}dx}=\integral_{0}^{2}{[\bruch{1}{2x^2}e^{x^2t}]_{\phi(-2)}^{\phi(2)} dx}=\integral_{0}^{2}{[\bruch{1}{2x^2}e^{x^2y^2}]_{-2}^{2} dx}=\integral_{0}^{2}0dx=[c] [/mm] mit [mm] c\in [/mm] R
Aber welchen Fall muss ich noch betrachten, wenn eine Fallunterscheidung nötig ist?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Mi 11.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\integral_{-2}^{2}{\integral_{0}^{2}{ye^{x^2y^2} dx}dy}=\integral_{0}^{2}{\integral_{-2}^{2}{ye^{x^2y^2} dy}dx}[/mm]
>
> Substituiton: [mm]\phi(y)=y^2=t; \phi'(y)=2y; dt=\phi'(y)dy \Rightarrow dy=\bruch{dt}{2y}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{2}{\integral_{\phi{-2}}^{\phi{2}}{ye^{x^2t} \bruch{dt}{2y}}dx}=\integral_{0}^{2}{\integral_{\phi{-2}}^{\phi{2}}{ye^{x^2t} \bruch{dt}{2y}}dx}=\integral_{0}^{2}{\integral_{\phi{-2}}^{\phi{2}}{0,5e^{x^2t} dt}dx}=\integral_{0}^{2}{[\bruch{1}{2x^2}e^{x^2t}]_{\phi(-2)}^{\phi(2)} dx}=\integral_{0}^{2}{[\bruch{1}{2x^2}e^{x^2y^2}]_{-2}^{2} dx}=\integral_{0}^{2}0dx=[c][/mm]
> mit [mm]c\in[/mm] R
>
> Aber welchen Fall muss ich noch betrachten, wenn eine
> Fallunterscheidung nötig ist?
Deine obigen Rechnungen gelten nur im Falle x [mm] \ne [/mm] 0, denn Du teilst durch [mm] x^2 [/mm] !
Der Fall x=0 fehlt also.
FRED
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Mi 11.05.2016 | | Autor: | nightsusi |
Okay, überzeugt 
Aber wenn x=0 ist, dann hab ich ja nur [mm] \integral_{0}^{2}\integral_{-2}^{2} [/mm] y dydx was ja recht einfach zu berechnen ist und ich erhalte wieder eine Konstante!
LG Susi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Mi 11.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Okay, überzeugt
Freu, freu ...
>
> Aber wenn x=0 ist, dann hab ich ja nur
> [mm]\integral_{0}^{2}\integral_{-2}^{2}[/mm] y dydx was ja recht
> einfach zu berechnen ist und ich erhalte wieder eine
> Konstante!
... und die ist =0.
FRED
>
> LG Susi
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