Integral eines Kreises? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 So 26.09.2010 | | Autor: | BaiLong |
Hallo,
ich habe folgendes Problem, mit dem ich nicht zurechtkomme.
Habe keine exakte Aufgabenstellung, da es sich nur um ein Teilproblem handelt.
Gegeben sind zwei Vektoren, die eine beliebige Ebene im [mm] \IR^{3} [/mm] aufspannen, und auf dieser Ebene liegt ein Kreis, der durch Mittelpunkt und Radius bestimmt ist.
Ich würde jetzt gerne die Grenzen dieses Kreises für mein Integral herausfinden...
Kann mir jemand eine allgemein gehaltene "Formel" bzw. herangehensweise sagen?
Vielen Dank!
Gruß
--Markus
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
natürlich kenne ich jetzt die ganze Aufgabenstellung nicht, kann mir aber keine vorstellen, bei der man den Flächeninhalt in einfach mit der Formel für Kreise berechnen kann? Den Radius hast du ja scheinbar gegeben.
Gruß Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 So 26.09.2010 | | Autor: | BaiLong |
> Hallo,
>
> natürlich kenne ich jetzt die ganze Aufgabenstellung
> nicht, kann mir aber keine vorstellen, bei der man den
> Flächeninhalt in einfach mit der Formel für Kreise
> berechnen kann? Den Radius hast du ja scheinbar gegeben.
>
> Gruß Julia
Hehe,
stimmt, das wäre clever! ^^
Leider geht es nicht um den Flächeninhalt, sondern nur um die Grenzen. also [mm] x_{min}, x_{max}, y_{min}, [/mm] etc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:16 Mo 27.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
was verstehst du denn unter den [mm] x_{min} [/mm] usw?
Vielleicht waer es doch besser du sagst das eigentliche problem.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Mo 27.09.2010 | | Autor: | BaiLong |
> Hallo
> was verstehst du denn unter den [mm]x_{min}[/mm] usw?
[mm] x_{min} [/mm] ist der kleinste x-Wert, wo der Kreis anfängt.
[mm] x_{max} [/mm] wenn man in x-Richtung weiter geht, wo er wieder aufhört.
y und z äquivalent dazu.
Gibt es da nicht eine Methode beim integrieren wo man erst in die Richtung in die man integriert feststellen muss, wo fängt der Kreis an und wo hört er wieder auf?
Wie schon gesagt, mir geht es nur darum die Grenzen zu bestimmen. das weitere Integrieren mit Kreisformeln etc. kann vernachlässigt werden.
Sprich die minimale x-Koordinate die ein Punkt der noch im Kreis liegt annehmen kann, die maximale x-Koordinate die ein Punkt der noch im Kreis liegt annehmen kann usw.
Geht das irgendwie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 So 26.09.2010 | | Autor: | MorgiJL |
Hey...
das mit der Aufgabenstellung is bissl mist, weil ich im Grunde nicht genau weis was du genau willst.
Entweder möchtest du um einen Kreis Integriegen (Kurvenintegral), dann is deine untere Grenze 0 und die obere $2*pi$
kannst du die aufgabe nicht etwas genauer schrieben?, ich meine du musst ja schließlich irgendwie wissen worum es geht.
JAn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 So 26.09.2010 | | Autor: | BaiLong |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 So 26.09.2010 | | Autor: | BaiLong |
Hmm, nagut dann versuche ich es anders.
Ich möchte die Grenzen, eines Kreises, der willkürlich im Raum orientiert ist.
Zur Verfügung habe ich die Vektoren, die die Ebene bestimmen in welcher sich der Kreis befindet, und den Radius des Kreises.
Um es etwas "praktischer" zu formulieren:
Stelle dir vor, du arbeitest in einer Spielzeugfabrik, welche Frisbees herstellt. Diese soll verpackt werden, aber um sie besonders toll zur Geltung zu bringen, wird dir vorgegeben, wie die Frisbee in der Schachtel ausgerichtet ist. Du sollst nun die Maße für die kleinste Schachtel finden, in die die Frisbee mit der vorgegebenen Orientierung reinpasst.
Natürlich sind die Seiten der Schachtel entlang der Achsen ausgerichtet.
Bitte seht mir meinen kläglichen Versuch nach, eine "sinnvolle" Textaufgabe zu formulieren. ^^
Hoffentlich hilft das etwas mehr.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:19 Mo 27.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in dem Fall ist die Rchtung der Ebene die Diagonale des Kreises. den kannst du als ellipse nach unten oder auf die Seiten projizieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Mo 27.09.2010 | | Autor: | BaiLong |
> Hallo
> in dem Fall ist die Rchtung der Ebene die Diagonale des
> Kreises.
Welche Richtung hat denn meine Ebene? Schließlich wird sie doch durch zwei Richtungsvektoren bestimmt, oder?
> den kannst du als ellipse nach unten oder auf die
> Seiten projizieren.
Wie mache ich das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Mo 27.09.2010 | | Autor: | BaiLong |
Kennt sich keiner mit der Projektion, oder einer anderen Methode aus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Mo 27.09.2010 | | Autor: | chrisno |
Ich versuche mal das Problem zu formulieren, Du must kontrollieren, ob es das ist, was Du meinst.
Gegeben ist das übliche Koordinatensystem mit x-, y- und z-Achsen. An einem Punkt M befindet sich der Mittelpunkt eines Kreises. Dieser Kreis hat den Radius r. Die Orientierung des Kreises ist durch den Normalenvektor N gegeben. Diese Orientierung ist nicht parallel zu einer der Koordinatenachsen.
Für jeden Punkt des Kreises kann man Koordinaten x, y, z angeben. Gesucht sind aus allen diesen Tripeln diejenigen, in denen die kleinsten bezeihungsweise größten Werte von x, y oder z vorkommen. Diese werden mit [mm] x_{min}, x_{max}, y_{min}, y_{max}, z_{min}, z_{max} [/mm] bezeichnet.
Mit Integralrechnung hat dieses Problem nichts zu tun. Daher ist die Bezeichnung ziemlich unglücklich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Mo 27.09.2010 | | Autor: | BaiLong |
> Ich versuche mal das Problem zu formulieren, Du must
> kontrollieren, ob es das ist, was Du meinst.
>
> Gegeben ist das übliche Koordinatensystem mit x-, y- und
> z-Achsen. An einem Punkt M befindet sich der Mittelpunkt
> eines Kreises. Dieser Kreis hat den Radius r. Die
> Orientierung des Kreises ist durch den Normalenvektor N
> gegeben. Diese Orientierung ist nicht parallel zu einer der
> Koordinatenachsen.
>
> Für jeden Punkt des Kreises kann man Koordinaten x, y, z
> angeben. Gesucht sind aus allen diesen Tripeln diejenigen,
> in denen die kleinsten bezeihungsweise größten Werte von
> x, y oder z vorkommen. Diese werden mit [mm]x_{min}, x_{max}, y_{min}, y_{max}, z_{min}, z_{max}[/mm]
> bezeichnet.
>
Das spiegelt sehr gut wieder, was ich suche. ^^
> Mit Integralrechnung hat dieses Problem nichts zu tun.
> Daher ist die Bezeichnung ziemlich unglücklich.
>
Als wir mal mehrdimensionale Integrale hatten, haben wir es so gelernt, dass man um es salopp zu sagen, die Achsen abläuft und in eine Richtung erstmal integriert. Aber damit man nicht von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty [/mm] integriert muss man die grenzen kennen in welchen man sich bewegen will. Und um diese geht es mir ja, wie du sehr gut zusammengefasst hast.
Aus dem Grund hatte ich angenommen, das Grenzen ermitteln gehört dann zur Analysis dazu.
Aber wenn du sagst es hat hier nichts zu suchen, glaub ich das natürlich und würde den Thread auch verschieben, wenn mir jemand sagen kann, ob und wie das geht. Ach so und wohin wäre dann noch toll! :)
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Mo 27.09.2010 | | Autor: | chrisno |
Ich habe eine Idee:
Stelle die Gleichung für den Kreis auf. Forme sie um, so dass x = ... da steht.
Leite nach y und nach z ab. .....
Da gibt es noch ein paar Probleme zu erledigen, aber ich denke der Weg ist gangbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Di 28.09.2010 | | Autor: | BaiLong |
> Ich habe eine Idee:
> Stelle die Gleichung für den Kreis auf. Forme sie um, so
> dass x = ... da steht.
> Leite nach y und nach z ab. .....
> Da gibt es noch ein paar Probleme zu erledigen, aber ich
> denke der Weg ist gangbar.
Klingt schonmal super! ^^
Wie stelle ich die Gleichung auf?
Bringt mich denn die Ebenengleichung irgendwie weiter?
$ E \ : \ [mm] \left[ \ \vec{x}-\vec{p} \ \right]\cdot{}\vec{n} [/mm] \ = \ 0 $
Was ich mir noch überlegt habe, wäre mit dem Skalarprodukt zu arbeiten.
Wenn $ [mm] \vmat{ \vec{n} } [/mm] = r $ und ich dann $ [mm] \vec{n}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] $ rechne, ist doch der Wert quasi die differenz zwischen dem $ r $ des projezierten Kreises und dem eigentlichen Radius der Scheibe. Sozusagen würde dann gelten $ [mm] \vmat{proj \ r } [/mm] = r - [mm] [\vec{n}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}] [/mm] \ \ \ | \ \ \ [mm] \vmat{ \vec{n} } [/mm] = r $
Und sofern das stimmt wäre dann $ [mm] [x_{min}, x_{max}] [/mm] \ = \ [mm] [P_{x} [/mm] - [mm] \vmat{proj \ r }, P_{x} [/mm] + [mm] \vmat{proj \ r }] [/mm] $
Ist das irgendwie nachvollziehbar?! Wo liegt der Denkfehler? Ich bin wirklich langsam am verzweifeln! :(
Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
Lieben Gruß
--Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Di 28.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
produziere aus deinen 2 Vektoren einen mit z-Komponente 0, dann einen dazu senkrechten in der Ebene
der erste ist parallel zur xyEbene, der 2te hat richtung der Fallinie.
mach Einhietsvektoren e1 und e2 draus.
dann hast du den Kreis gegeben durch [mm] M+e1*rcos\phi+e2*r*sin\phi
[/mm]
jetst kannst du direkt projizieren und hast die Ellipsen in Hauptachsendarstellung. oder du kriegst diene [mm] x_{min} [/mm] etc direkt raus.
Gruss leduart
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Hallo Markus,
zuerst einmal eine etwas andere Formulierung der Aufgabe:
| Aufgabe | Gegeben ist ein Kreis $k$ , der in einer Ebene $E$ in [mm] \IR^3 [/mm] liegt.
Bekannt seien der Mittelpunkt $M$ und der Radius $r$ des Kreises k
sowie zwei Spannvektoren [mm] \vec{p} [/mm] und [mm] \vec{q} [/mm] der Ebene $E$ .
Bestimme den kleinsten Quader mit achsenparallelen Kanten,
in welchen der Kreis $k$ hineinpasst |
Damit ist doch das Wesentliche gesagt, oder ?
Zur Lösung hätte ich nun folgenden Weg anzubieten:
1.) Bestimme aus den beiden Spannvektoren [mm] \vec{p} [/mm] und [mm] \vec{q} [/mm] der
Ebene zwei neue, [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] mit $\ [mm] |\vec{u}|\ [/mm] =\ [mm] |\vec{v}|\ [/mm] =\ r$ und [mm] \vec{u}\perp \vec{v}
[/mm]
2.) Mittels [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] kann man eine Parameterdarstellung
des Kreises aufstellen:
[mm] $\vec{r}(t)\ [/mm] =\ [mm] \overrightarrow{M}+cos(t)*\vec{u}+sin(t)*\vec{v}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{x(t)\\y(t)\\z(t)}$
[/mm]
3.) Nun kann man für jede der drei Komponenten $x(t)$ , $y(t)$ , $z(t)$
durch eine einfache Extremwertaufgabe Minimum und Maximum
bestimmen - und damit die Ausmaße des gewünschten Quaders.
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Mi 29.09.2010 | | Autor: | chrisno |
Schöne Lösung. Kleine Anmerkung: Die Kanten des Quaders liegen parallel zu den Koordintenachsen.
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> Schöne Lösung. Kleine Anmerkung: Die Kanten des Quaders
> liegen parallel zu den Koordinatenachsen.
Danke chrisno !
dass die Kanten des Quaders achsenparallel sein sollten, war
natürlich immer als Voraussetzung gedacht; ich habe es jetzt
auch noch in meinen neuen Aufgabentext eingebracht.
Übrigens könnte man noch den Übergang von den (unabhängigen)
Spannvektoren [mm] \vec{p} [/mm] , [mm] \vec{q} [/mm] zu zwei neuen orthogonalen Spannvektoren
[mm] \vec{u} [/mm] , [mm] \vec{v} [/mm] vom Betrag $\ [mm] |\vec{u}|\ [/mm] =\ [mm] |\vec{v}|\ [/mm] =\ r$ relativ leicht in Formeln fassen !
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Al
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... und hier noch die "Ideal-Lösung":
1.) bestimme mittels Vektorprodukt einen Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] der Ebene
2.) bestimme die Winkel zwischen [mm] \vec{n} [/mm] und den 3 Koordinatenachsen
Es ist z.B. $\ [mm] cos(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \frac{\vec{n}_x}{|\vec{n}|}$
[/mm]
3.) die Ausdehnung des Kreises (und damit des ihn umfassenden
Quaders) in x-Richtung ist dann z.B.
$\ [mm] 2*r_x\ [/mm] =\ [mm] 2*r*|sin(\alpha)|$
[/mm]
Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Mo 04.10.2010 | | Autor: | BaiLong |
Sorry, ich war ein paar Tage weg.
Deine Lösung sieht echt super und vorallem simpel aus. ;)
Jetzt habe ich noch 2 kurze Fragen:
> 2.) bestimme die Winkel zwischen [mm]\vec{n}[/mm] und den 3
> Koordinatenachsen
>
> Es ist z.B. [mm]\ cos(\alpha)\ =\ \frac{\vec{n}_x}{|\vec{n}|}[/mm]
>
Was ist [mm] \vec{n}_x?
[/mm]
[mm] \vec{n} [/mm] war ja von Anfang an gegeben und da du es als Vektor geschrieben hast, meinst du vielleicht den Vektor [mm] \vektor{n_x \\ 0 \\ 0}?
[/mm]
> 3.) die Ausdehnung des Kreises (und damit des ihn
> umfassenden
> Quaders) in x-Richtung ist dann z.B.
>
> [mm]\ 2*r_x\ =\ 2*r*|sin(\alpha)|[/mm]
>
Wieso jetzt Sinus und nichtmehr Cosinus wie in 2.)?
Vielen Dank, das hat mich schonmal weiter gebracht!
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> Sorry, ich war ein paar Tage weg.
>
> Deine Lösung sieht echt super und vorallem simpel aus. ;)
> Jetzt habe ich noch 2 kurze Fragen:
>
> > 2.) bestimme die Winkel zwischen [mm]\vec{n}[/mm] und den 3
> > Koordinatenachsen
> >
> > Es ist z.B. [mm]\ cos(\alpha)\ =\ \frac{\vec{n}_x}{|\vec{n}|}[/mm]
>
> Was ist [mm]\vec{n}_x?[/mm]
Damit meine ich die x-Komponente des Normalenvektors [mm] \vec{n} [/mm] .
Es sei also
[mm] $\vec{n}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{\vec{n}_x\\\vec{n}_y\\\vec{n}_z}$
[/mm]
>
> > 3.) die Ausdehnung des Kreises (und damit des ihn
> > umfassenden Quaders) in x-Richtung ist dann z.B.
> >
> > [mm]\ 2*r_x\ =\ 2*r*|sin(\alpha)|[/mm]
> >
> Wieso jetzt Sinus und nichtmehr Cosinus wie in 2.)?
Am besten machst du dir das in einer Skizze klar: Zeichne deinen
"Frisbee" von der Seite gesehen, so dass er als Strecke der
Länge [mm] 2\,r [/mm] erscheint. Zeichne in seinem Mittelpunkt M einen
Normalenvektor und lege ferner eine weitere (beliebige) Gerade
durch M, welche eine Parallele zur x-Achse darstellen soll.
Hinweis: diese Gerade sowie der Normalenvektor sollen
in der Zeichenebene liegen !
Betrachte die Winkel, die in dieser Figur vorkommen.
Beispielsweise gilt doch: Wenn [mm] \vec{n} [/mm] parallel zur x-Achse ist,
so ist die Ausdehnung des Kreises in x-Richtung gleich null.
Ist [mm] \vec{n} [/mm] hingegen senkrecht zur x-Achse, so ist die Ausdehnung
des Kreises in x-Richtung gleich dem Kreisdurchmesser.
LG Al-Chwarizmi
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