Integral eines Bruches < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Do 10.05.2007 | | Autor: | Tealc |
| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende Integral:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{3*x^4+6*x^3+9*x^2+4*x+2}{3*x^3+3*x^2+3*x} dx} [/mm] ,x>0 |
Hallo zusammen !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Könntet ihr mir evtl. dabei helfen ? ICh beiss mir echt die Zähne daran aus.
Hatte vor gehabt eine Polynomdivision vorzunehmen um das ganze echt gebrochen zu machen, aber irgendwie komm ich auf nichts anständiges ! :(
Bin für jede Hilfe dankbar !
Gruss
Tealc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Do 10.05.2007 | | Autor: | Tealc |
erstmal danke ;)
also als ERgebnis der Polynomdivision habe ich heraus:
[mm] \bruch{x}{3*(x^2+x+1)}-\bruch{1}{3*(x^2+x+1)}+\bruch{2}{3*x}+x+1
[/mm]
Was mich jetzt dabei stutzig macht ist das [mm] x^2+x+1, [/mm] denn [mm] x^2+x+1=0 [/mm] ergibt ja keine Lösung.
Es sei denn es hat etwas mit komplexen Nullstellen zu tun ?
(Ich hoffe die Frage ist nicht allzu dämlich :( )
mal was anderes, wo gibts hier smilies ? ^^
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Hallo Tealc,
also das Ergebnis der PD ist ok
Die hinteren 3 Terme kannst du elementar integrieren.
Fasse die ersten beiden Brüche zusammen:
[mm] $...=\frac{1}{3}\cdot{}\frac{x-1}{x^2+x+1}$
[/mm]
Nun erweitere das Teil mit [mm] $\frac{2}{2}$, [/mm] um im Zähler die Ableitung des Nenners zu konstruieren, also
[mm] $=\frac{1}{6}\cdot{}\frac{2x-2}{x^2+x+1}=\frac{1}{6}\cdot{}\frac{2x+1-3}{x^2+x+1}=\frac{1}{6}\left(\frac{2x+1}{x^2+x+1}+\frac{-3}{x^2+x+1}\right)$
[/mm]
Damit ist dann zu bestimmen:
[mm] $\frac{1}{6}\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx}+\frac{1}{6}\int{\frac{-3}{x^2+x+1}dx}=\frac{1}{6}\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x^2+x+1}dx}$
[/mm]
Das erste ist ein logarithmisches Integral, also eines von der Bauart [mm] \int{\frac{f'(x)}{f(x)}} [/mm] und hat die Stammfkt ln(|f(x)|), also [mm] ln(|x^2+x+1|)
[/mm]
Das Ganze dann noch mal [mm] $\frac{1}{6}$
[/mm]
Bleibt das hintere Biest
Um das zu lösen, bringe den Nenner auf die Form [mm] $x^2+a^2$ [/mm] und erinnere dich an die Ableitung vom arctan:
[mm] $\left(\arctan(x)\right)'=\frac{1}{x^2+1}$
[/mm]
Wenn du das also auf die Form [mm] $\frac{1}{x^2+a^2}$ [/mm] gebracht hast, ist die Stammfkt. [mm] $\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)$
[/mm]
Kommste damit ans Ziel?
Falls das arctan-Integral sich sträubt, frag nochmal nach
LG
schachuzipus
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Tealc |
WOOW danke bin auf jedenfall viel weiter
und das beste ist verstehen tue ichs auch noch *gg*
bloß der letzte Schritt klappt nicht, ich schaffe es nicht den Nenner [mm] x^2+x+1 [/mm] auf die Form [mm] x^2+a^2 [/mm] zu bekommen.
Ich meine [mm] x^2+1 [/mm] würde dem ja genügen, bloß wie bekommt man das x raus ?
Vielleicht liegts jetzt auch daran dass wir schon 0:30 haben ?! ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Fr 11.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das mit dem x nicht so wörtlich nehmen [mm] u^2+a^2 [/mm] tuts auch:
[mm] x^2+x+1=(x+0,5)^2+(1-0,25) [/mm] jetzt u=x+0,5 oder besser noch gleich auf [mm] c*(v^2+1) [/mm] und dann substituieren.
Gruss leduart
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Partialbruchzerlegung