Integral bestimmen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Fr 26.04.2013 | | Autor: | marmik |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \int_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \bruch{sin(x)}{1+sin(x)+cos(x)}dx [/mm] |
Hallo zusammen,
Also bis hier hin lief es ganz gut mit der Berechnung von Integralen, aber an diesem scheitere ich leider.
Mein Ansatz:
Ich habe bei uns im Skript etwas gefunden, wobei ich dachte dass ich es hier verwenden kann.
Substitution: x=2arctan(t) [mm] \iff t=tan(\bruch{x}{2}) [/mm] und [mm] dx=\bruch{2}{1+t^2}dt
[/mm]
Ich wollte jetzt zunächst das unbestimmte Integral berechnen und habe dann die obige Substitution eingesetzt und vereinfacht.
[mm] \int_{}^{} \bruch{\bruch{2t}{1+t^2}}{1+\bruch{2t}{1+t^2}+\bruch{1-t^2}{1+t^2}}\bruch{2}{1+t^2}dt
[/mm]
Das habe ich dann vereinfacht zu:
[mm] 2\int_{}^{} \bruch{t}{(t+1)(1+t^2)}dt
[/mm]
Hier wollte ich mit der partialbruchzerlegung weiterarbeiten, aber leider hab ich das noch nicht so gut verstanden wie ich da immer meinen Ansatz wählen soll -.-
Meiner war:
[mm] \bruch{t}{(t+1)(1+t^2)}=\bruch{A}{t+1}+\bruch{Bt+C}{1+t^2}
[/mm]
Aber damit komme ich nicht so wirklich weiter.
Falls der weg bis hier hin richtig ist würde ich mich freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben kann wie ich weiter rechnen soll.
Und wenn nicht dann wäre ich für einen Alternativen Lösungsweg dankbar.
MfG
Marmik
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Fr 26.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie [mm]\int_{0}^{\bruch{\pi}{2}} \bruch{sin(x)}{1+sin(x)+cos(x)}dx[/mm]
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> Hallo zusammen,
>
> Also bis hier hin lief es ganz gut mit der Berechnung von
> Integralen, aber an diesem scheitere ich leider.
> Mein Ansatz:
> Ich habe bei uns im Skript etwas gefunden, wobei ich
> dachte dass ich es hier verwenden kann.
> Substitution: x=2arctan(t) [mm]\iff t=tan(\bruch{x}{2})[/mm] und
> [mm]dx=\bruch{2}{1+t^2}dt[/mm]
>
> Ich wollte jetzt zunächst das unbestimmte Integral
> berechnen und habe dann die obige Substitution eingesetzt
> und vereinfacht.
> [mm]\int_{}^{} \bruch{\bruch{2t}{1+t^2}}{1+\bruch{2t}{1+t^2}+\bruch{1-t^2}{1+t^2}}\bruch{2}{1+t^2}dt[/mm]
>
> Das habe ich dann vereinfacht zu:
> [mm]2\int_{}^{} \bruch{t}{(t+1)(1+t^2)}dt[/mm]
> Hier wollte ich mit
> der partialbruchzerlegung weiterarbeiten, aber leider hab
> ich das noch nicht so gut verstanden wie ich da immer
> meinen Ansatz wählen soll -.-
> Meiner war:
>
> [mm]\bruch{t}{(t+1)(1+t^2)}=\bruch{A}{t+1}+\bruch{Bt+C}{1+t^2}[/mm]
>
> Aber damit komme ich nicht so wirklich weiter.
Ja, woran liegt es denn ?
Bestimme A, B und C durch Koeffizientenvergleich
FRED
>
> Falls der weg bis hier hin richtig ist würde ich mich
> freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben kann wie ich
> weiter rechnen soll.
> Und wenn nicht dann wäre ich für einen Alternativen
> Lösungsweg dankbar.
>
> MfG
> Marmik
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Fr 26.04.2013 | | Autor: | marmik |
Hi Fred,
Danke für den Tipp. Ich habe es jetzt mit der Partialbruchzerlegung hingekriegt und auch das Integral bestimmen können jedoch ist die Form der Stammfunktion noch nicht optimal.
Also:
[mm] 2\int_{}^{} \bruch{t}{(t+1)(1+t^2)}dt=\int_{}^{} \bruch{t+1}{1+t^2}-\bruch{1}{t+1} [/mm] dt [mm] =\int_{}^{} \bruch{t}{1+t^2}dt+\int_{}^{} \bruch{1}{1+t^2}dt-\int_{}^{} \bruch{1}{t+1}dt =\bruch{1}{2}ln|1+t^2|+arctan(t)-ln|t+1|+c
[/mm]
Wenn ich das noch weiter umforme erhalte ich (Rücksubstitution):
[mm] \bruch{1}{2}(x-ln(\bruch{(tan(\bruch{x}{2})+1)^2}{(tan(\bruch{x}{2})^{2}+1)}))+c
[/mm]
Jetzt habe ich via Wolframalpha erfahren, dass sich das Argument des Logarithmus noch umformen lässt zu:
[mm] (sin(\bruch{x}{2})+cos(\bruch{x}{2}))^{2}
[/mm]
Und dann habe ich probiert diese Umformung auch hinzubekommen. Bin dabei an dieser Stelle stehen geblieben:
[mm] 1+2sin(\bruch{x}{2})cos(\bruch{x}{2}) [/mm]
Kannst du mir vielleicht sagen wie ich von dort auf den obigen Term komme?
MfG
Marmik
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Hallo Marmik,
>
> Jetzt habe ich via Wolframalpha erfahren, dass sich das
> Argument des Logarithmus noch umformen lässt zu:
> [mm](sin(\bruch{x}{2}) cos(\bruch{x}{2}))^{2}[/mm]
>
> Und dann habe ich probiert diese Umformung auch
> hinzubekommen. Bin dabei an dieser Stelle stehen
> geblieben:
>
> [mm]1 2sin(\bruch{x}{2})cos(\bruch{x}{2})[/mm]
> Kannst du mir vielleicht sagen wie ich von dort auf den
> obigen Term komme?
Na, es ist doch [mm] $1=\sin^2(x/2)+\cos^2(x/2)$ [/mm] ...
>
> MfG
> Marmik
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Fr 26.04.2013 | | Autor: | marmik |
Hi Schachuzipus,
Das ist schon ziemlich peinlich . Ich habe sogar diesen Ansatz schon eingesetzt und die Bin. Formel nicht erkannt :-D
Danke für den Hinweis.
Gruß
marmik
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