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Integral bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 Di 01.07.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo,

ich möchte
[mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{\wurzel{\wurzel{x}+1}}dx [/mm]
berechnen.

Das habe ich mit Substitution gemacht:
[mm] s=\wurzel{x} [/mm]
[mm] =2\integral_{0}^{1}\bruch{s}{\wurzel{s+1}}ds [/mm]
t=s+1
[mm] =2\integral_{0}^{1}\bruch{t-1}{\wurzel{t}}dt [/mm]
[mm] =2\integral_{0}^{1} \wurzel{t} [/mm] dt - [mm] 2\integral_{0}^{1} \bruch{1}{\wurzel{t}} [/mm] dt
[mm] =\bruch{4}{3}(\wurzel{x}+1)^{\bruch{3}{2}}-4\wurzel{\wurzel{x}+1} |_0 [/mm] ^1
[mm] =-\bruch{4}{3}\wurzel{2}+\bruch{8}{3} [/mm]
Stimmt das?? Ich glaube ich habe da irgendwo einen Fehler gemacht?

Danke,
Anna

        
Bezug
Integral bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:22 Di 01.07.2008
Autor: fred97

Hallo Anna,
Du hast 2 Fehler gemacht:

1. bei der Substitution t = s+1 hast Du die Integrationsgrenzen nicht mtsubstituiert, die neuen grenzen sind 1 und 2.

2. Bei der Stammfunktion

$ [mm] =\bruch{4}{3}(\wurzel{x}+1)^{\bruch{3}{2}}-4\wurzel{\wurzel{x}+1} |_0 [/mm] $

hast Du Dich kräftig verhauen. Wie Du darauf kommst ist mir nicht klar.


FRED

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Integral bestimmen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 13:51 Di 01.07.2008
Autor: leduart

Hallo fred
Mit dem ersten Punkt hast du recht, aber da Anna rücksubstituiert, spielt das für das Endergebnis keine Rolle.
Gruss leduart

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Bezug
Integral bestimmen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 14:09 Di 01.07.2008
Autor: fred97

Leduart, Du hast recht

FRED

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Integral bestimmen: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Di 01.07.2008
Autor: Loddar

Hallo Anna!


Du kommst hier auch mit einer Substitution aus, wenn Du zu Beginn wählst:
$$u \ := \ [mm] \wurzel{x}+1$$ [/mm]

Gruß
Loddar


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Integral bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:29 Di 01.07.2008
Autor: konvex

hi,
substituiere im 2.schritt mal t= [mm] \wurzel{s+1}. [/mm]
dann läuft das besser und hast dann das integral

4 [mm] \integral_{0}^{1}{t^2-1 dt} [/mm]

mfg

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Bezug
Integral bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:45 Di 01.07.2008
Autor: fred97

Die Integrationsgrenzen sind falsch !

FRED

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Integral bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 Di 01.07.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo,

vielen DANK für Eure Antworten!!
Dass mit den Integrationsgrenzen war mir gerade schon selbst aufgefallen.
Aber ich komme dennoch nicht so recht weiter. Ich habe jetzt den Tipp
von Loddar genommen und substituiere mit
s = [mm] \wurzel{x}+1 [/mm]
Dann gibt das ja
2 [mm] \integral_{1}^{2}\bruch{s-1}{\wurzel{2}} [/mm] ds
= 2 [mm] \integral_{1}^{2}\wurzel{s} [/mm] ds - [mm] 2\integral_{1}^{2}\bruch{1}{\wurzel{s}} [/mm]
[mm] =\bruch{4}{3}*s^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 2\integral_{1}^{2}\bruch{1}{\wurzel{s}} [/mm] ds

Stimmt das soweit noch?

Danke,
Anna

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Integral bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Di 01.07.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo Anna-Lyse!

Ich sehe keinen Fehler! :-)

Nur noch den 2. Teil integrieren, Grenzen einsetzen.....dann bist du fertig.
In diesem Fall brauchst du nicht mehr resubstituieren.

2. Möglichkeit:
Du weißt sicher, dass es auch möglich ist, die Integrationsgrenzen nicht zu beachten, sondern erst die Stammfunktion des unbstimmten Integrals durch Substitution zu ermitteln, dann Resubstitution zu machen, und erst zum Schluss die anfänglichen Grenzen einsetzen. So bleibt dir die Transformation der Grenzen bei der Substitution erspart.

Gruß

Angelika

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Bezug
Integral bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:31 Di 01.07.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo Angelika,

DANKE für Deine Antwort!

Also dann weiter:
[mm] =\bruch{4}{3}*s^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 2\integral_{1}^{2}\bruch{1}{\wurzel{s}} [/mm] ds
[mm] =\bruch{4}{3}*s^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{s} |_1 [/mm] ^2
[mm] =\bruch{4}{3}*(\wurzel{x}+1)^{\bruch{3}{2}} -4\wurzel{\wurzel{x}+1} |_0 [/mm] ^1

Hm, damit komme ich schon wieder da hin wo ich war, was nicht stimmte.
Aber das Integral von [mm] \bruch{1}{\wurzel{s}} [/mm] ist doch [mm] 2\wurzel{s} [/mm] ?
Wo liegt hier mein Denkfehler?

Gruß,
Anna

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Integral bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Di 01.07.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo Ana-Lyse!

Ja, die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm]  ist [mm] 2\wurzel(x)+C! [/mm]

Aber da du die Grenzen bei der Substitution mittransformiert hast, brauchst du nicht mehr resubstituieren. Sondern einfach die Grenzen in die substituierte Stammfunktion einsetzen .....:-)

Gruß

Angelika

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Integral bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 Di 01.07.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo Angelika,

>  In diesem Fall brauchst du nicht mehr resubstituieren.

achso! Also
[mm] =\bruch{4}{3}*s^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{s} |_1 [/mm] ^2
[mm] =[\bruch{4}{3}*2^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{2}] -[\bruch{4}{3}*1^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{1}] [/mm]

Reicht das so?

Danke,
Anna

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Integral bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Di 01.07.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo Ana-Lyse!

Entschuldige wenn ich dich mit den "2 Methoden" verwirrt habe!Sorry!

Alles richtig!:-)


Angelika

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Bezug
Integral bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Di 01.07.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo Angelika,

> So wie du es jetzt hast müsste es stimmen. Nur noch den
> Wert des bestimmten Integrals berechnen...:-)

Der Wert wäre doch dann
[mm] =[\bruch{4}{3}*2^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{2}] -[\bruch{4}{3}*1^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{1}] [/mm] [verwirrt]


Ich überlege außerdem, wie man von
[mm] \bruch{4}{3}*s^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{s} |_1 [/mm] ^2
auf die Stammfunktion kommt? Denn die ist doch [mm] \bruch{4}{3}(x+1)^{\bruch{3}{4}} [/mm] ?

Und
[mm] \bruch{4}{3}(1+1)^{\bruch{3}{4}} [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}(0+1)^{\bruch{3}{4}} \approx [/mm] 0,909058
ist doch ungleich
[mm] [\bruch{4}{3}*2^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{2}] -[\bruch{4}{3}*1^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{1}] \approx [/mm] 0,7810486
was ja bedeuten würde, dass mein Ergebnis oben doch nicht stimmt [verwirrt].

Danke,
Anna

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Bezug
Integral bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:06 Di 01.07.2008
Autor: leduart

Hallo Anna

>  
> Der Wert wäre doch dann
>  [mm]=[\bruch{4}{3}*2^{\bruch{3}{2}}[/mm] - [mm]4\wurzel{2}] -[\bruch{4}{3}*1^{\bruch{3}{2}}[/mm]
> - [mm]4\wurzel{1}][/mm] [verwirrt]
>  
>
> Ich überlege außerdem, wie man von
>  [mm]\bruch{4}{3}*s^{\bruch{3}{2}}[/mm] - [mm]4\wurzel{s} |_1[/mm] ^2
>  auf die Stammfunktion kommt? Denn die ist doch
> [mm]\bruch{4}{3}(x+1)^{\bruch{3}{4}}[/mm] ?

Wie kommst du auf die Stammfkt? im ersten Post hattest du die richtige!
Die hier ist sicher falsch, wie du leicht durch Differenzieren feststellen kannst!
[mm] \wurzel{1} [/mm] sollte man immer gleich durch 1 ersetzen,
[mm] 2^{\bruch{3}{2}} [/mm] durch [mm] 2*2^{\bruch{1}{2}} [/mm]

Schade, dass dich die vielen posts so verwirrt haben!



Bezug
                                                        
Bezug
Integral bestimmen: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:23 Di 01.07.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo leduart,

>  Wie kommst du auf die Stammfkt? im ersten Post hattest du
> die richtige!
>  Die hier ist sicher falsch, wie du leicht durch
> Differenzieren feststellen kannst!
>  [mm]\wurzel{1}[/mm] sollte man immer gleich durch 1 ersetzen,
>  [mm]2^{\bruch{3}{2}}[/mm] durch [mm]2*2^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>  
> Schade, dass dich die vielen posts so verwirrt haben!

  

ja, ich war jetzt in der Tat etwas verwirrt (eben weil ich immer wieder auf
meine Ausgangsrechnung zurück gekommen bin). Aber diese ist ja doch
so richtig :-) (bis auf den Formfehler beim Substituieren).
Also vereinfache ich
[mm] [\bruch{4}{3}*2^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{2}] -[\bruch{4}{3}*1^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{1}] [/mm]
noch zu
[mm] [\bruch{8}{3}*2^{\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{2}] -[\bruch{4}{3} [/mm] - 4]

Und dann ist das so OK, oder kann man bzw. sollte man das noch weiter
vereinfachen?
Vielen Dank für Deine Antwort!!

Gruß,
Anna

Bezug
                                                                
Bezug
Integral bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:38 Di 01.07.2008
Autor: Al-Chwarizmi


>  Also vereinfache ich
>  [mm][\bruch{4}{3}*2^{\bruch{3}{2}}[/mm] - [mm]4\wurzel{2}] -[\bruch{4}{3}*1^{\bruch{3}{2}}[/mm] - [mm]4\wurzel{1}][/mm]
> noch zu
>  [mm][\bruch{8}{3}*2^{\bruch{1}{2}}[/mm] - [mm]4\wurzel{2}] -[\bruch{4}{3}[/mm] - 4]
>
> Und dann ist das so OK, oder kann man bzw. sollte man das
> noch weiter
>  vereinfachen?


hallo Anna,

solch ein Ergebnis sollte man bestimmt noch vereinfachen !

LG

Bezug
                                                                        
Bezug
Integral bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:22 Di 01.07.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo Al-Chwarizmi,

> solch ein Ergebnis sollte man bestimmt noch vereinfachen !

ja, Du / Ihr habt Recht. In meiner Anfangsrechnung (wo ich
zurück substituiert hatte) habe ich es auch vereinfacht.

Danke,
Anna

Bezug
                                                                
Bezug
Integral bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:47 Di 01.07.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo Anna  

> Und dann ist das so OK, oder kann man bzw. sollte man das
> noch weiter
>  vereinfachen?

Als ich davor gesagt habe du sollst jetzt nur mehr den Wert des Integrals berechnen, habe ich mich etwas falsch ausgedrückt. Ich habe gemeint, du könntest noch etwas vereinfachen. So kommst du auf den Wert [mm] \approx [/mm] 0.781.

Du hast die Stammfunktion gleich Anfangs richtig berechnet. So hättest du einfach die änfanglichen Grenzen 0 und 1 einsetzen brauchen und du wärest auf das selbe Ergebniss gekommen.(Andere Methode)

[mm] [\bruch{4}{3}(\wurzel{x}+1)^{\bruch{3}{2}}-4\wurzel{\wurzel{x}+1} ]_0^1=[\bruch{4}{3}*s^{\bruch{3}{2}}-4*\wurzel{s}]_1^2 [/mm]

LG   :-)

Angelika

Bezug
                                                                        
Bezug
Integral bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:23 Di 01.07.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo Angelika,

> Als ich davor gesagt habe du sollst jetzt nur mehr den Wert
> des Integrals berechnen, habe ich mich etwas falsch
> ausgedrückt. Ich habe gemeint, du könntest noch etwas
> vereinfachen. So kommst du auf den Wert [mm]\approx[/mm] 0.781.
>  
> Du hast die Stammfunktion gleich Anfangs richtig berechnet.
> So hättest du einfach die änfanglichen Grenzen 0 und 1
> einsetzen brauchen und du wärest auf das selbe Ergebniss
> gekommen.(Andere Methode)
>  
> [mm][\bruch{4}{3}(\wurzel{x}+1)^{\bruch{3}{2}}-4\wurzel{\wurzel{x}+1} ]_0^1=[\bruch{4}{3}*s^{\bruch{3}{2}}-4*\wurzel{s}]_1^2[/mm]
>  

Ja, so war mir das auch klar.

Danke,
Anna

Bezug
                                
Bezug
Integral bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Di 01.07.2008
Autor: leduart

Hallo Anna
Auch schon deine erste Rechnung war richtig. Nur die eine Zeile, in der du die Grenzen bei t falsch drangeschrieben hast war formal falsch. da du bdann rücksubstituiert hast, war das Ergebnis richtig. dein neues ebenso, wenn du es noch vereinfachst!
Schreib in Zukunft einfach an das substituierte Integral die Grenzen z.Bsp t(0) und t(1) dran.
Gruss leduart

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