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Hallo, ich soll zeigen, dass folgendes Integral existiert und es über einem Kreis mit Radius r und 0 als Mittelpunkt integrieren.
[mm] \integral{\bruch{1}{1+\parallel x\parallel_2^2} dx}
[/mm]
Ohne Norm würde ich hier einfach mit x = sin u substituieren.
Und ganz normal über [mm] K_r(0) [/mm] integrieren.
Habe das mit der Norm aber noch nirgends gesehen. Da geht das ja bestimmt nicht so mit der Ableitung.
Wobei muss ich aufpassen?
Dankeschön!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich soll zeigen, dass folgendes Integral existiert
> und es über einem Kreis mit Radius r und 0 als Mittelpunkt
> integrieren.
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{1+\parallel x\parallel_2^2} dx}[/mm]
Da Du von einem Kreis sprichst, vermute ich, dass wir uns im [mm] \IR^2 [/mm] befinden. Du sollst also berechnen:
[mm] \integral_{K_r(0)}^{}{\bruch{1}{1+x_1^2+x_2^2}d(x_1,x_2 )}
[/mm]
[mm] (x=(x_1,x_2))
[/mm]
Da bieten sich doch Polarkoordinaten an !!
FRED
>
> Ohne Norm würde ich hier einfach mit x = sin u
> substituieren.
> Und ganz normal über [mm]K_r(0)[/mm] integrieren.
>
> Habe das mit der Norm aber noch nirgends gesehen. Da geht
> das ja bestimmt nicht so mit der Ableitung.
> Wobei muss ich aufpassen?
>
> Dankeschön!
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Hallo Fred,
ersteinmal meinte ich natürlich den Tangens als Substitution und nicht den Sinus aber das war ja nicht meine Frage.
BTT:
Heißt ich schreibe mit [mm] x_1 [/mm] als r * sin [mm] (\varphi) [/mm] und [mm] x_2 [/mm] als r * [mm] cos(\varphi). [/mm] Hat das schon was mit dem Kreis zu tun oder könnte ich das für auch machen wenn unter dem Integral [mm] \IR^2 [/mm] steht?
Dann wird aus [mm] \bruch{1}{1+x_1^2+x_2^2} [/mm] ja [mm] \bruch{1}{1+(r * sin (\varphi))^2+(r * cos (\varphi))^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+r^2}.
[/mm]
Und was passiert mit dem [mm] d(x_1,x_2)? [/mm] Dort stünde doch dann auch d(r * sin [mm] (\varphi), [/mm] r * cos [mm] (\varphi)) [/mm] oder ist das jetzt total falsch?
Schonmal vielen Dank.
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Hallo Heatshawk,
> Hallo Fred,
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> ersteinmal meinte ich natürlich den Tangens als
> Substitution und nicht den Sinus aber das war ja nicht
> meine Frage.
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> BTT:
> Heißt ich schreibe mit [mm]x_1[/mm] als r * sin [mm](\varphi)[/mm] und [mm]x_2[/mm]
> als r * [mm]cos(\varphi).[/mm] Hat das schon was mit dem Kreis zu
> tun oder könnte ich das für auch machen wenn unter dem
> Integral [mm]\IR^2[/mm] steht?
>
> Dann wird aus [mm]\bruch{1}{1+x_1^2+x_2^2}[/mm] ja [mm]\bruch{1}{1+(r * sin (\varphi))^2+(r * cos (\varphi))^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1+r^2}.[/mm]
>
> Und was passiert mit dem [mm]d(x_1,x_2)?[/mm] Dort stünde doch dann
> auch d(r * sin [mm](\varphi),[/mm] r * cos [mm](\varphi))[/mm] oder ist das
> jetzt total falsch?
>
Anstelle von [mm]d\left(x_{1},x_{2}\right)[/mm] steht jetzt
[mm]\begin{vmatrix}
\bruch{\partial x_{1}}{\partial r} & \bruch{\partial x_{1}}{\partial \varphi} \\
\bruch{\partial x_{2}}{\partial r} & \bruch{\partial x_{2}}{\partial \varphi}
\end{vmatrix} \ d\left(r,\varphi)[/mm]
> Schonmal vielen Dank.
Gruss
MathePower
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also habe ich dann noch folgendes? :
\integral_{K_r(0)}\bruch{1}{1+r^2} * $ \begin{vmatrix} \bruch{\partial x_{1}}{\partial r} & \bruch{\partial x_{1}}{\partial \varphi} \\ \bruch{\partial x_{2}}{\partial r} & \bruch{\partial x_{2}}{\partial \varphi} \end{vmatrix} \ d\left(r,\varphi) $
Bringt es jetzt trotzdem was mit r = tan zu substituieren?
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Hallo Heatshawk,
> Also habe ich dann noch folgendes? :
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> [mm]\integral_{K_r(0)}\bruch{1}{1+r^2}[/mm] * [mm]\begin{vmatrix} \bruch{\partial x_{1}}{\partial r} & \bruch{\partial x_{1}}{\partial \varphi} \\ \bruch{\partial x_{2}}{\partial r} & \bruch{\partial x_{2}}{\partial \varphi} \end{vmatrix} \ d\left(r,\varphi)[/mm]
>
> Bringt es jetzt trotzdem was mit r = tan zu substituieren?
Zunächst mußt Du [mm]\begin{vmatrix} \bruch{\partial x_{1}}{\partial r} & \bruch{\partial x_{1}}{\partial \varphi} \\ \bruch{\partial x_{2}}{\partial r} & \bruch{\partial x_{2}}{\partial \varphi} \end{vmatrix}[/mm] berechnen.
Dieser Ausdruck ist von [mm]r,\varphi[/mm] abhängig.
Gruss
MathePower
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$ [mm] \begin{vmatrix} \bruch{\partial x_{1}}{\partial r} & \bruch{\partial x_{1}}{\partial \varphi} \\ \bruch{\partial x_{2}}{\partial r} & \bruch{\partial x_{2}}{\partial \varphi} \end{vmatrix} [/mm] $
ist ja einfach [mm] \bruch{\partial x_{1}}{\partial r}\bruch{\partial x_{2}}{\partial \varphi}-\bruch{\partial x_{1}}{\partial \varphi}\bruch{\partial x_{2}}{\partial r}
[/mm]
Also muss ich jetzt folgendes lösen:
[mm] \integral_{K_r(0)}{\bruch{1}{1+r^2} (\bruch{\partial x_{1}}{\partial r}\bruch{\partial x_{2}}{\partial \varphi}-\bruch{\partial x_{1}}{\partial \varphi}\bruch{\partial x_{2}}{\partial r}) d(r,\varphi)}
[/mm]
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Hallo Heatshawk,
> [mm]\begin{vmatrix} \bruch{\partial x_{1}}{\partial r} & \bruch{\partial x_{1}}{\partial \varphi} \\ \bruch{\partial x_{2}}{\partial r} & \bruch{\partial x_{2}}{\partial \varphi} \end{vmatrix}[/mm]
>
> ist ja einfach [mm]\bruch{\partial x_{1}}{\partial r}\bruch{\partial x_{2}}{\partial \varphi}-\bruch{\partial x_{1}}{\partial \varphi}\bruch{\partial x_{2}}{\partial r}[/mm]
>
> Also muss ich jetzt folgendes lösen:
>
> [mm]\integral_{K_r(0)}{\bruch{1}{1+r^2} (\bruch{\partial x_{1}}{\partial r}\bruch{\partial x_{2}}{\partial \varphi}-\bruch{\partial x_{1}}{\partial \varphi}\bruch{\partial x_{2}}{\partial r}) d(r,\varphi)}[/mm]
>
Es gilt doch:[mm]x_{1}=r*\cos\left(\varphi\right), \ x_{2}=r*\sin\left(\varphi\right)[/mm]
Damit kannst Du den Ausdruck
[mm]\bruch{\partial x_{1}}{\partial r}\bruch{\partial x_{2}}{\partial \varphi}-\bruch{\partial x_{1}}{\partial \varphi}\bruch{\partial x_{2}}{\partial r}[/mm]
berechnen.
Gruss
MathePower
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Okay ich habs.
Jetzt ist die Frage, wie das ganze im [mm] \IR^n [/mm] aussieht, also nicht mehr im [mm] \IR^2.
[/mm]
Geht das dann genauso, dass ich [mm] \parallel x\parallel^2_2 [/mm] als [mm] \summe_{i=1}^{n}x_i^2 [/mm] schreibe?
Vielen Dank schonmal.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Di 29.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, aber deine Aufgabe liegt doch im [mm] \IR^2 [/mm] wegen des kreises
Gruss leduart
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Die erste Teilaufgabe war im [mm] \IR^2 [/mm] die zweite liegt jetzt im [mm] \IR^n.
[/mm]
Wie geht das denn hier? Ähnlich oder ganz anders?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Mi 30.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Im [mm] R^n [/mm] auch Kreis?
da gibts keine Polarkoordinaten. , du musst also das Gebiet angeben und integrieren.
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Dann sagen wir ich will über [mm] K_r(0) [/mm] integrieren.
Also die n-dimensionale Einheitskugel mit Radius r.
Dann habe ich doch folgendes Integral zu lösen:
[mm] \integral_{K_r(0)}{\bruch{1}{1+\parallel x \parallel_2^2} dx}
[/mm]
Oder wir können auch r = 1 wählen. Ich weiß hier einfach nicht was ich machen muss.
Das im [mm] \IR^2 [/mm] habe ich verstanden.
Dafür schonmal Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Fr 02.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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