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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 So 28.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | | Gesucht ist das Integral der Funktion [mm] \wurzel{4x²+4x+1} [/mm] |
Hallo alle zusammen.
Also mein erster Versuch war eine Substitution:
u=4x²+4x+1
du/dx=8x+4
dx= du/(8x+4)
Somit wäre mein Integral wohl
[mm] \integral_{}^{}{1 \bruch{du}{8x+4}}
[/mm]
Ich schätze eine Substitution ist nicht sehr sinnvoll, wenn man ein x² oder höher hat.
Mir kam noch etwas in den Sinn, jedoch fällt mir der Name und der genaue Weg nichtmehr ein:
Ich nehme:
4x²+4x+1=0
und löse auf x => x=-1/2
somit wäre die Formel:
[mm] 4x²+4x+1 = (x\pm 1. Loesung) * (x \pm 2. Loesung) [/mm]
Könnte man hier damit etwas erreichen?
lg
Zuggel
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Hallo Zuggel!
> Gesucht ist das Integral der Funktion [mm]\wurzel{4x²+4x+1}[/mm]
...
> Ich schätze eine Substitution ist nicht sehr sinnvoll, wenn
> man ein x² oder höher hat.
Das kann man so nicht sagen, aber hier bringt Deine Substitution jedenfalls nichts.
> Mir kam noch etwas in den Sinn, jedoch fällt mir der Name
> und der genaue Weg nichtmehr ein:
>
> Ich nehme:
> 4x²+4x+1=0
> und löse auf x => x=-1/2
>
> somit wäre die Formel:
> [mm]4x²+4x+1 = (x\pm 1. Loesung) * (x \pm 2. Loesung)[/mm]
>
> Könnte man hier damit etwas erreichen?
Jaaaa.
Quadratische Gleichungen haben ja keine, eine oder zwei Lösungen. Wie ist es hier?
Wie kannst Du also die zu integrierende Funktion schreiben? Wird dabei die Definitionsmenge verändert?
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 So 28.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo Zuggel!
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> > Gesucht ist das Integral der Funktion [mm]\wurzel{4x²+4x+1}[/mm]
> ...
> > Ich schätze eine Substitution ist nicht sehr sinnvoll, wenn
> > man ein x² oder höher hat.
> Das kann man so nicht sagen, aber hier bringt Deine
> Substitution jedenfalls nichts.
>
> > Mir kam noch etwas in den Sinn, jedoch fällt mir der Name
> > und der genaue Weg nichtmehr ein:
> >
> > Ich nehme:
> > 4x²+4x+1=0
> > und löse auf x => x=-1/2
> >
> > somit wäre die Formel:
> > [mm]4x²+4x+1 = (x\pm 1. Loesung) * (x \pm 2. Loesung)[/mm]
> >
> > Könnte man hier damit etwas erreichen?
> Jaaaa.
>
> Quadratische Gleichungen haben ja keine, eine oder zwei
> Lösungen. Wie ist es hier?
Lösung wäre -1/2. Aber wie wäre dann die Formel richtig? Mit Plus oder Minus?
Btw: Danke Loddar, da hast du wohl recht mit der binomischen Formel!
Danke
lg
Zuggel
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Hallo Zuggel,
das Ergebnis ist dann wohl das gleiche, egal ob Du durch die explizite Lösung (per p,q- oder Mitternachtsformel) dahin kommst oder durch das Erkennen der 1. binomischen Formel, wie Loddar vorschlägt.
Wenn Du eine Nullstelle bei [mm] x_0 [/mm] hast, kannst Du aus dem Polynom [mm] (x-x_0) [/mm] ausklammern.
In diesem Fall hast Du eine doppelte Nullstelle bei [mm] x_0=-\bruch{1}{2}.
[/mm]
Also ist [mm] 4x^2+4x+1=(x-\left(-\bruch{1}{2}\right))*(4x+2)=4*\left(x+\bruch{1}{2}\right)*\left(x+\bruch{1}{2}\right)=(2x+1)^2
[/mm]
Soweit, wenn Du die binomische Formel eben nicht gleich erkennst.
Du findest dann leicht heraus, dass der Term nie <0 ist, so dass Du getrost die Wurzel ziehen kannst und Dein Integral geradezu langweilig einfach wird.
lg,
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 So 28.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zuggel!
Auf [mm] $4x^2+4x+1$ [/mm] lässt sich wunderbar eine  binomische Formel anwenden.
Gruß
Loddar
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> Hallo Zuggel!
>
>
> Auf [mm]4x^2+4x+1[/mm] lässt sich wunderbar eine
> binomische Formel anwenden.
>
>
> Gruß
> Loddar
Hallo zusammen,
bei der Anwendung der binomischen Formel in
diesem Fall muss man aber dennoch aufpassen,
denn die Formel
[mm] \wurzel{T^2}=T
[/mm]
gilt nur, falls [mm] T\ge [/mm] 0 ist. Man muss deshalb
eine Fallunterscheidung machen:
[mm] \wurzel{T^2}=\begin{cases} T, & \mbox{für } T\ge 0 \\ -T, & \mbox{für } T<0 \end{cases}
[/mm]
LG al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 So 28.12.2008 | | Autor: | reverend |
...deswegen schreibt man ja auch besser: [mm] \wurzel{T^2}=|T|
[/mm]
Ich wartete eigentlich noch auf die Lösung des Integrals, da hätte man ja dann gesehen, ob die Betragsstriche bzw. die Fallunterscheidung enthalten sind. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 So 28.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
Hallo :)
Nun das mit dem Betrag ist wohl richtig, das Integral wird zwischen 0 und 1 geführt, somit ergibt sich ein Wert von 2 welcher auch mit der Lösung übereinstimmt.
Würde das Integral zwischen -1 und 1 verlaufen, so hätte ich dann folgendes:
[mm] |2*\bruch{x²}{2}+x| [/mm] zwischen [-1,1]
also:
[mm] |x^2+x|=>
[/mm]
|1+1|-|1-1| = 2
Da hier [mm] x^2 [/mm] immer größer sein wird als x werde ich wohl auch schwer meinen Betrag ins negative ziehen können, aber sollte einmal der Fall auftreten:
[mm] \integral_{-1}^{1}{|x| dx}
[/mm]
so habe ich:
|x²/2| zwischen [-1,1]
also:
1-1=0
Zeichnet man sich die Funktion |x| auf so hat man einen Kelch der zusammenläuft und man sieht das die Fläche kaum ungleich 0 sein soll. Wie sollte man hier vorgehen?
Danke
lg
Zuggel
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Es geht nicht ohne Fallunterscheidung.
Für [mm] x\ge0: \integral{|x| dx}=\integral{x dx}=\bruch{1}{2}x^2+C
[/mm]
Für [mm] \a{}x<0: \integral{|x| dx}=\integral{-x dx}=-\bruch{1}{2}x^2+C
[/mm]
Damit gilt: [mm] \integral_{-1}^{1}{|x| dx}=\integral_{-1}^{0}{|x| dx}+\integral_{0}^{1}{|x| dx}=\integral_{-1}^{0}{-x dx}+\integral_{0}^{1}{x dx}=\left[-\bruch{1}{2}x^2\right]_{-1}^{0}+\left[\bruch{1}{2}x^2\right]_{0}^{1}=0-(-\bruch{1}{2})+\bruch{1}{2}-0=1
[/mm]
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> Es geht nicht ohne Fallunterscheidung.
Die hab ich deshalb schon vorher angeregt
Doch es ging ja hier um das Integral
[mm] $\integral_{-1}^{1}\wurzel{4x^2+4x+1}\ [/mm] dx\ =\ [mm] \integral_{-1}^{1}|2x+1|\ [/mm] dx$
Aufteilung bei $\ x=\ [mm] -\bruch{1}{2}$ [/mm] , wo $\ T=(2x+1)$ das
Vorzeichen wechselt:
$\ =\ [mm] \integral_{-1}^{-\bruch{1}{2}}-(2x+1)\ [/mm] dx\ [mm] +\integral_{\bruch{1}{2}}^{1}(2x+1)\ [/mm] dx$
$\ =\ [mm] -(x^2+x)\big{|}_{-1}^{-\bruch{1}{2}}\ [/mm] +\ [mm] (x^2+x)\big{|}_{-\bruch{1}{2}}^{1}\ [/mm] =\ 2.5$
Gruß
Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 So 28.12.2008 | | Autor: | reverend |
Danke für den Hinweis.
Ich bin in der ganz falschen Aufgabe.
Tss.
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