Integral / Residuensatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:28 Sa 21.06.2014 | | Autor: | hilbert |
Wir sollen folgendes Integral mit Hilfe des Residuensatzes berechnen:
[mm] \int_0^\infty \frac{1}{(1+x^2)(x^2+9)}dx
[/mm]
Ich habe zuerst die Singularitäten bestimmt: +-i, +-3i
Also ist die Menge der Singularitäten Diskret und das relle Intervall [mm] ]0,\infty[ [/mm] ist doch ein einfach zusammenhängendes Gebiet?
Als nächstes habe ich versucht das Residuum zu bestimmen:
Da wir nur Pole erster Ordnung haben komme ich auf folgende Residuen:
[mm] Res_i(f)=\lim\limits_{x\rightarrow i}\frac{x-i}{(1+x^2)(x^2+9)}=-\frac{i}{16}
[/mm]
[mm] Res_{-i}(f)=\lim\limits_{x\rightarrow -i}\frac{x+i}{(1+x^2)(x^2+9)}=\frac{i}{16}
[/mm]
[mm] Res_{3i}(f)=\lim\limits_{x\rightarrow 3i}\frac{x-3i}{(1+x^2)(x^2+9)}=\frac{i}{48}
[/mm]
[mm] Res_{-3i}(f)=\lim\limits_{x\rightarrow -3i}\frac{x+3i}{(1+x^2)(x^2+9)}=-\frac{i}{48}
[/mm]
Um den Residuensatz letztendlich anwenden zu können, benötige aber auch noch die Umlaufzahl oder? Und hier hapert es :( Wie kann ich diese bestimmen?
Vielen dank bereits!
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Der Residuensatz beschäftigt sich mit komplexen Integralen. Es geht um Kurven in komplexen Gebieten. Insofern ergeben deine Ausführungen dazu keinen Sinn.
Was stimmt, ist, daß man mit dem Residuensatz gewisse Typen von reellen Integralen berechnen kann. Für den Typ einer gebrochen-rationalen Funktion gibt es eine ![[]](/images/popup.gif) feste Formel, die man durch eine Anwendung des Residuensatzes im Komplexen beweisen kann. Eine Beweisskizze findet sich im Link. Diese Formel beschäftigt sich mit Integralen über [mm](-\infty,\infty)[/mm], bei dir liegt aber ein Integral über [mm][0,\infty)[/mm] vor. Überlege selbst, mit welchem einfachen Trick du alles passend machen kannst.
Die Residuen hast du korrekt berechnet.
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