Integral, Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Edi1982 |
Hi Leute,
Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich keine Ahnung habe, da ich nicht weis, wie man die Konvergenz bei einem integral untersucht.
Wäre für ein Paar Tipps sehr dankbar.
Zeigen Sie, dass das Integral
[mm] \integral_{a}^{b} {\bruch{sin(x)}{x} dx}
[/mm]
konvergiert, aber nicht absolut konvergiert
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Mi 19.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo.
so wie die aufgabe dasteht ist sie falsch, da das ein integral über eine stetige funktion auf einem kompakten intervall $[a, b]$ ist und dieses integral konvergiert auch absolut. daher nehem ich an, dass du [m] \int_1^\infty \frac{\sin x}{x} \, \textrm{d}x [/m] meinst. um die konvergenz davon zu zeigen musst du einfach einmal parteiell integrieren und die beiden dann entstehenden summanden abschätzen.
um zu zeigen, dass das integral nicht absolut konvergiert kann man z.b. so vorgehen, dass man folgendermaßen abschätzt:
[m] \int_\pi^{(n+1)\pi} \left| \frac{\sin x}{x} \right| \, \textrm{d}x \geq \sum_{i=1}^n \frac{1}{(n+1)\pi} \int_{i\pi}^{(i+1)\pi} |\sin x| \, \textrm{d}x [/m]
warum folgt daraus die divergenz?
probiere das mal etwas auszuarbeiten. dann kannst du dich ja mit konkreten fragen wieder melden!
grüße
andreas
|
|
|
|
