Integral 1/f(v) dv < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Mi 27.08.2008 | | Autor: | schmu |
| Aufgabe | | [mm] t=\integral_{0}^{v}{\bruch{1}{av^{2}+bv+c} dv} [/mm] |
Hallo,
an diesem Punkt der Rechnung komme ich nicht weiter.
Möglicherweise ist aber auch der Weg bis zu diesem Punkt nicht der beste.
Hier ist die vollständige Aufgabe:
Mein Elektroauto beschleunigt über einen weiten Drehzahlbereich mit konstanter Leistung (abgeregelt). Aus Messfahrten habe ich Roll- und Luftwiderstand ermittelt, so dass ich nun die Zeit für die Beschleunigung von 0 auf 100 km/h berechnen können sollte.
Hier mein Ansatz:
Konstanten:
[mm] P_{Antrieb} [/mm] Antriebsleistung
L Faktor Luftwiderstand
R Faktor Rollwiderstand
m Fahrzeugmasse
Die Kraft, die wirkt ist:
[mm] F=F_{Antrieb}-F_{Reibung}
[/mm]
mit:
[mm] F_{Antrieb}=\bruch{P_{Antrieb}}{v}
[/mm]
[mm] F_{Reibung}=L*v^{2}+R*m
[/mm]
gemäß F=m*a ergibt sich:
[mm] a=-\bruch{L}{m}*v^{2}+\bruch{P_{Antrieb}}{m}*v-R
[/mm]
Bis hierhin sollte alles richtig sein. Für das Folgende benötige ich aber Hilfe:
aus [mm] a=\bruch{dv}{dt} [/mm] wird [mm] dt=\bruch{dv}{a}
[/mm]
und dann:
[mm] t=\integral_{v_{0}}^{v}{\bruch{1}{a(v)} dv}
[/mm]
mit:
[mm] v_{0}=0
[/mm]
bleibt etwas wie:
[mm] t=\integral_{0}^{v}{\bruch{1}{av^{2}+bv+c} dv}
[/mm]
zu lösen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Und hier noch ein großes Lob an die Formeleingabe und -darstellung!
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Hallo!
Zuerst ist zu bemerken, dass deine Formel für die resultierende Beschleunigung keine einheitliche Benennung hat! Vermutlich fehlt bei Reibungskoeffizient R noch die Erdbeschleunigung g!
Zu Deinem Integral:
Das Integral [mm] \integral{\bruch{1}{ax^2+bx+c} dx}
[/mm]
hat entweder einen Arcustangens oder einen Logarithmus als Stammfunktion!
Entscheidend ist die Diskriminante D ähnlich wie bei der quadratischen Gleichung:
D = [mm] 4ac-b^2
[/mm]
Welcher Fall tritt ein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 So 31.08.2008 | | Autor: | schmu |
| Aufgabe | | [mm] t=\integral_{0}^{v}{\bruch{1}{-\bruch{L}{m}v^{2}+\bruch{P_{Antrieb}}{m*v}-R} dv} [/mm] |
Hallo nochmal,
bei der Kontrolle der Werte ist mir ein Fehler aufgefallen.
Gemäß [mm] F_{Antrieb}=\bruch{P_{Antrieb}}{v} [/mm] gehört v natürlich in den Nenner. Ich befürchte aber, daß das die Sache nicht einfacher macht.
Zur Kontrolle sind hier die Konstanten für das
Kräftegleichgewicht (Beschleunigung = 0) bei etwa 32,8363 m/s (118,21 km/h):
m=1600 kg
[mm] P_{Antrieb}=20000 [/mm] W
L=0,4536 kg/m
R=0,075 [mm] m/s^{2}
[/mm]
[mm] a(v)=-\bruch{L}{m}v^{2}+\bruch{P_{Antrieb}}{m*v}-R
[/mm]
bei v=32,8363 m/s ergibt sich
a(32,8363 [mm] \bruch{m}{s})=-\bruch{0,4536 \bruch{kg}{m}}{1600 kg}(32,8363 \bruch{m}{s})^{2}+\bruch{20000 W}{1600 kg*32,8363 \bruch{m}{s}}-0,075 \bruch{m}{s^{2}}
[/mm]
a(32,8363 [mm] \bruch{m}{s})=-\bruch{0,4536 \bruch{kg}{m}}{1600 kg}(32,8363 \bruch{m}{s})^{2}+\bruch{20000 \bruch{kg*m^{2}}{s^{3}}}{1600 kg*32,8363 \bruch{m}{s}}-0,075 \bruch{m}{s^{2}}
[/mm]
und das sind etwa 0 [mm] \bruch{m}{s^{2}}
[/mm]
Das zu lösende Integral soll später verwendet werden, um die Zeit von 0 auf 80 oder 100 km/h zu berechnen. Ich möchte das gelöste Integral in Excel eingeben und dann sehen, wie Änderungen an Antriebsleistung, Masse und Luftwiderstand die Zeit beeinflussen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:08 Mo 01.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> [mm]t=\integral_{0}^{v}{\bruch{1}{-\bruch{L}{m}v^{2}+\bruch{P_{Antrieb}}{m*v}-R} dv}[/mm]
>
> Hallo nochmal,
>
> bei der Kontrolle der Werte ist mir ein Fehler
> aufgefallen.
> Gemäß [mm]F_{Antrieb}=\bruch{P_{Antrieb}}{v}[/mm] gehört v
> natürlich in den Nenner. Ich befürchte aber, daß das die
> Sache nicht einfacher macht.
Nein, eher nicht.
Was du aber machen kannst: schreibe [mm] $\bruch{1}{-\bruch{L}{m}v^{2}+\bruch{P_{Antrieb}}{m*v}-R} [/mm] = [mm] \bruch{v}{-\bruch{L}{m}v^3+\bruch{P_{Antrieb}}{m}-Rv}$; [/mm] dann hast du im Nenner ein Polynom dritten Gerades. Wenn es keine mehrfachen Nullstellen hast (das kannst du z.B. einfach mit der ![[]](/images/popup.gif) Diskriminante ueberpruefen), kannst du eine Partialbruchzerlegung machen und das ganze als Linearkombination von drei Bruechen der Form [mm] $\frac{v}{v - x}$ [/mm] machen fuer drei verschiedene $x$. (Die $x$ konkret zu finden ist wieder etwas komplizierter, du kannst etwa Loesungsformeln nehmen oder die $x$ numerisch bestimmen. Hoffen wir mal einfach, dass alle drei $x$ reell sind, ansonsten hast du eh ein Problem.) Dann kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und damit die Koeffizienten der [mm] $\frac{v}{v - x}$ [/mm] bestimmen.
Dann brauchst du nur noch zu wissen, wie du [mm] $\frac{v}{v - x} [/mm] = [mm] \frac{v - x}{v - x} [/mm] + [mm] \frac{x}{v - x} [/mm] = 1 + [mm] \frac{x}{v - x}$ [/mm] integrierst; eine Stammfunktion davon ist $v + x [mm] \ln(v [/mm] - x)$.
(Genau diesen Ansatz waehlt uebrigens MAPLE, wenn man ihn den Ausdruck [mm] $\int \frac{v}{a v^3 + b v + c} [/mm] dv$ berechnen laesst.)
Alternativ (was wohl das einfachste ist, da du es ja eh programmieren moechtest) ist es wohl das Integral einfach numerisch auszuwerten... Siehe etwa die dritte Formel in diesem Abschnitt; wenn du $n$ gross genug waehlst (probier doch mal ein paar Werte aus, sagen wir mal 10, 20, 50, 100, und schau wieweit sich das Ergebnis dann noch aendert) sollte das ein ziemlich genaues Ergebnis liefern.
LG Felix
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