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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 So 17.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
| Aufgabe | Berechnen Sie.
a) [mm] \integral_{1}^{4}\bruch{e^{\wurzel{x}}}{\wurzel{x}(1+e^{\wurzel{x}})} [/mm] dx
b) [mm] \integral_{0}^{1/3} \bruch{dx}{e^{x}+1} [/mm] (Hinweis: Substituieren Sie in b) [mm] t=e^{-x} [/mm] |
Hi und guten Morgen,
bei a) habe ich für [mm] u=1+e^{\wurzel{x}} [/mm] angenommen oder wäre es besser für [mm] u=e^{\wurzel{x}}?
[/mm]
bei b) ?
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Hallo Aeyrn,
> Berechnen Sie.
> a)
> [mm]\integral_{1}^{4}\bruch{e^{\wurzel{x}}}{\wurzel{x}(1+e^{\wurzel{x}})}[/mm]
> dx
>
> b) [mm]\integral_{0}^{1/3} \bruch{dx}{e^{x}+1}[/mm] (Hinweis:
> Substituieren Sie in b) [mm]t=e^{-x}[/mm]
> Hi und guten Morgen,
>
> bei a) habe ich für [mm]u=1+e^{\wurzel{x}}[/mm] angenommen oder wäre
> es besser für [mm]u=e^{\wurzel{x}}?[/mm]
ja, m.E. ist [mm] $u:=e^{\sqrt{x}}$ [/mm] der bessere Ansatz, das gibt ein ziemlich einfaches Integral
>
> bei b) ?
>
wende den Tipp an,
setze [mm] $u:=e^{-x}\Rightarrow e^x=\frac{1}{u}\Rightarrow x=...\Rightarrow \frac{dx}{du}=....$
[/mm]
Einfach mal starten, das kriegste schon hin
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 So 17.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
ad a)
[mm] u:=e^{\sqrt{x}}
[/mm]
du=? wäre doch die 1. Ableitung davon?
Ich weiß, dass f(x)= [mm] e^{x} [/mm] und f'(x)= [mm] e^{x}, [/mm] ich schätze das kommt hier nicht zum einsatz?
ad b)
[mm] u:=e^{-x}\Rightarrow e^x=\frac{1}{u}\Rightarrow x=...\Rightarrow \frac{dx}{du}=.... [/mm]
x=ln [mm] \bruch{1}{u}
[/mm]
dx = [mm] -\bruch{1}{u}
[/mm]
stimmt es soweit?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 So 17.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
Hab jetzt mal fröhlich integriert! *g*
und das "geniales" ist dabei rausgekommen ;)
ad a)
[mm] u=e^{\sqrt{x}}\Rightarrow \ln(u)=\sqrt{x}\Rightarrow \ln^2(u)=x\Rightarrow x'=\frac{dx}{du}=\frac{2\ln(u)}{u}\Rightarrow [/mm] dx=....
dx = [mm] \bruch{2ln(u)}{u} [/mm] du
[mm] \integral_{1}^{4} \bruch{u}{ln(u) (1+u)} \bruch{2ln(u)}{u} [/mm] du
das kann ich ja jetzt kürzen zu:
[mm] \integral_{1}^{4} \bruch{2}{(1+u)} [/mm] du
[mm] 2*\integral_{1}^{4} \bruch{1}{(1+u)} [/mm] du = 2*ln(1+u)
ad b)
dx = [mm] -\bruch{1}{u} [/mm] du
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{3}} \bruch{-\bruch{1}{u}}{\bruch{1}{u} +1} [/mm] du
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 17.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
zu a)
wie bitte?
>
> du musst nur mit den Grenzen aufpassen, entweder
> substituiure die mit oder berechne zuerst das unbestimmte
> Integral, dann resubstituieren, dann alte Grenzen nehmen
>
zu b)
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{3}} \bruch{-\bruch{1}{u}}{\bruch{1}{u} +1}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{3}} \bruch{-\bruch{1}{u}}{\bruch{1}{u} +\bruch{u}{u}}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{3}} -\bruch{1}{u}*\bruch{u}{1+u} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{1+u}
[/mm]
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Hmmm,
> zu a)
> wie bitte?
>
> >
> > du musst nur mit den Grenzen aufpassen, entweder
> > substituiure die mit oder berechne zuerst das unbestimmte
> > Integral, dann resubstituieren, dann alte Grenzen nehmen
[sic!]
Wenn du substituierst, musst du natürlich auch die Grenzen substituieren und übernehmen, sobald du die neue Variable u ins Integral schreibst, musst du die Grenzen in u nehmen.
ALTERNATIV lasse alle Grenzen weg und bestimme zuerst das UNBESTIMMTE Integral (in u), Das dann wieder in x ausdrücken, also resubstituieren.
Und ganz am Schluß die (ursprünglichen) Grenzen einsetzen
> zu b)
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{3}} \bruch{-\bruch{1}{u}}{\bruch{1}{u} +1}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{3}} \bruch{-\bruch{1}{u}}{\bruch{1}{u} +\bruch{u}{u}}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{3}} -\bruch{1}{u}*\bruch{u}{1+u}[/mm] =
> [mm]\red{-\int}{\bruch{1}{1+u}\red{du}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das nun berechnen
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 So 17.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
zu a)
meinst du das so?
[mm] u=e^{\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] u=e^{\wurzel{4}} [/mm] = [mm] e^{2}
[/mm]
[mm] u=e^{\wurzel{1}} [/mm] = [mm] e^{1}
[/mm]
als neue Grenzen?
jedenfalls wenn ich es resubstituiere:
2*ln(1+u) = [mm] 2*ln(1+e^{\wurzel{x}})
[/mm]
in den Grenzen 1 und 4:
[mm] 2*ln(1+e^{\wurzel{4}}) [/mm] - [mm] 2*ln(1+e^{\wurzel{1}})
[/mm]
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Hi,
genau das meine ich,
wenn du mal das Integral nicht resubstituierst und entsprechend die Grenzen e und [mm] e^2 [/mm] einsetzt, kommst auf dasselbe Ergebnis wie, wenn du zuerst resubstituierst und die "alten" Grenzen 1 und 4 einsetzt.
Es geht v.a. um sorgfältiges Aufschreiben, du solltest, wenn du die Variablen im Integral substituierst eben auch die Integrationsgrenzen substituieren und ans Integral schreiben.
LG
schachuzipus
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
