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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Di 26.04.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Soo, ich bins nochmal, ich hab gegoogelt und gegoogelt, hab aber keine Lösung gefunden (bzw. Verifikation)
[mm] \integral_{0}^{1} {\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(2 \pi nt)}{n^{2}} dt}
[/mm]
Es gilt ja [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b} {f_{n}(x) dx}=\integral_{a}^{b} {\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) dx}
[/mm]
Kann ich eigentlich diese Aussage damit beweisen, dass ich sage, das das Integral ja auch nur ein Grenzwert ist.
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] I [mm] (t_{n}) [/mm] ?
Naja, auch wenn ich diesen Satz noch nicht bewiesen hab, benutzen darf ich ihn ja....
[mm] \integral_{0}^{1} {\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(2 \pi nt)}{n^{2}} dt}=
[/mm]
[mm] \limes_{N\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{N} \integral_{0}^{1} {\bruch{cos(2 \pi nt)}{n^{2}} dt}
[/mm]
So hab ich mal den obigen Satz interpretiert...
Darf ich das ?
Wenn ich dann das partielle Integral anwende usw, komm ich auf
[mm] \limes_{N\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{N} \bruch{1}{n}
[/mm]
was aber ja bekanntlicherweise nicht konvergiert...
Das glaube ich aber eigentlich nicht !
Daher meine Bitte an euch, sagt mir einfach ob ich die Summe da oben rausziehen darf.... ? *g*
Bzw. wenn nicht, was ich rausziehen muss / darf.
Das Rechnen schaff ich schon... Es hakt halt nur an der Interpretation des obigen Satzes !
Danke
Faenôl
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Hallo Faenol!
(nette Signatur!)
Wie sind denn deine Voraussetzungen; was hast Du gegeben?
Du darfst das Integral und die Summe schon vertauschen (denn die Summe ist ja hier der limes, da die obere Grenze bei [mm] $\infty$ [/mm] liegt),
allerdings nur unter der Voraussetzung, daß die Summe für [mm] $x\in[0,1]$ [/mm] gleichmäßig konvergiert.
Das müßtest Du noch zeigen, was allerdings nicht besonders schwer ist, denn es ist ja für alle [mm] $x\in\IR$ $|\cos{(2\pi*n*x)}|\le1$, [/mm] wopmit Du leicht zeigen kannst, daß die Summe für alle x gleichmäßig konvergiert.
Partiell integrieren brauchst Du hier allerdings nicht, denn eine Stammfunktion zu [mm] $\cos{(2\pi*n*x)}$ [/mm] für [mm] $n\not=0$ [/mm] ist einfach [mm] $\frac{1}{2\pi*n}\sin{(2\pi*n*x)}$, [/mm] was sich durch Ableiten leicht bestätigen läßt (innerhalb des Integrals kannst Du ja das n wie eine Konstante behandeln).
Dann ist dein Endergebnis auch etwas netter, und vor allem konvergent!
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
[Ja, ich bin auch stolz auf meine Signatur ] *g*
Zu dem allgemeinen Beweis:
Ja, als Vorrausetzung ist gegeben,dass [mm] f_{n} [/mm] auf [a,b] stetig, dass [mm] f_{n} [/mm] glm gegen f konvergiert. Daraus sollen wir dann ganz allgemein folgern, dass man halt limes und Integral vertauschen darf....
Ich werd mal schaun, ob ich das allein hinbekomme.. Versuchen macht den Meister....
Zu dem Cosinus:
hmm, ja, da muss ich in der Tat noch zeigen, dass die Summe glm. konvergiert.
[mm] f_{n}(x)=cos(2 \pi*n*x)
[/mm]
x=0: [mm] f_{n}(0)=cos(0)=1 [/mm] => daher auch der Grenzwert =1
x>0: hier ist der Grenwert auch 1.
Also konvergiert die Funktionenfolge punktweise gegen die Funktion:
f(x)=1
f(x) ist stetig, daher müsste eine glm. Konvergenz folgen:
[mm] |f_{n}(x)-f(x)|=|cos(2 \pi*n*x)-1|<1
[/mm]
Ich hab das jetzt mal so versucht, die glm. Konvergenz zu beweisen, ist das so richtig ? Hab das erst in meiner letzten Frage (im Board) erklärt bekommen, daher habe Rücksicht ! *g*
Ja, stimmt, da braucht man keine part. Integration:
Aber ich bekomm dann doch:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}}* \bruch{1}{2 \pi n}*sin(2 \pi*n*x) [/mm] | [mm] _{0}^{1}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}}* \bruch{1}{2 \pi n}*sin(2 \pi*n)
[/mm]
sin(2 [mm] \pi*1)=sin(2 \pi*2)=sin(2 \pi*3)=....=0..
[/mm]
= 0 ????
Komisch,...........
Danke schonmal !
Faenôl
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Hallo!
> x=0: [mm]f_{n}(0)=cos(0)=1[/mm] => daher auch der Grenzwert =1
>
> x>0: hier ist der Grenwert auch 1.
>
> Also konvergiert die Funktionenfolge punktweise gegen die
> Funktion:
>
> f(x)=1
>
> f(x) ist stetig, daher müsste eine glm. Konvergenz folgen:
Leider ist das nicht ganz richtig, denn [mm] $\cos\left(2\pi*n*\bruch{2k+1}{4n}\right)=\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right)=0$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN_0$.
[/mm]
Außerdem würde aus punktweise Konvergenz einer stetigen Folge gegen eine stetige Funktion noch nicht glm. Konvergenz folgen.
Abgesehen davon geht es nicht darum, die Konvergenz der [mm] $\cos(2\pi [/mm] n*)$ gegen etwas zu zeigen, sondern das [mm] $\sum_{n=0}^N \bruch{ \cos(2\pi n*)}{n^2}\to \sum_{n=0}^\infty\bruch{ \cos(2\pi n*)}{n^2}$ [/mm] gleichmäßig ist.
> sin(2 [mm]\pi*1)=sin(2 \pi*2)=sin(2 \pi*3)=....=0..[/mm]
>
> = 0 ????
Sowie ich das sehe, ist das schon richtig...
Gruß, banachella
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Hallo Faenôl!
Wie Banachella schon richtig erwähnt hat, mußt Du zeigen, daß
[mm] $\summe_{j=1}^{n}\frac{\cos(2\pi*j*x)}{j^2}$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gleichmäßig gegen [mm] $\summe_{j=1}^{\infty}\frac{\cos(2\pi*j*x)}{j^2}$ [/mm] konvergiert, egal, was dabei rauskommen mag; das interessiert uns ja nicht wirklich; wir brauchen die Voraussetzung eben nur, um Integral und limes, d.h. in diesem Fall die Summe, vertauschen zu dürfen.
Dies ist in diesem Fall jedoch glücklicherweise nicht besonders schwierig, denn es ist [mm] $\summe_{j=1}^{n}\frac{\cos(2\pi*j*x)}{j^2}\le\summe_{j=1}^{n}\frac{|\cos(2\pi*j*x)|}{j^2}\le\summe_{j=1}^{n}\frac{1}{j^2}$,
[/mm]
die rechte Seite konvergiert jedoch unabhängig von unserem x, also damit gleichmäßig für alle x, und das ist ja genau das, was wir wollen.
Jetzt dürfen wir Integral und limes vertauschen, und erhalten damit:
[mm] $\integral_{0}^{1}\summe_{j=1}^{\infty}\frac{\cos(2\pi*j*x)}{j^2}dx=\summe_{j=1}^{n}\integral_{0}^{1}\frac{\cos(2\pi*j*x)}{j^2}dx$
[/mm]
[mm] $=\summe_{j=1}^{n}\frac{1}{2\pi*j}*\frac{[sin(2\pi*j*x)]_{0}^{1}}{j^2}=0$,
[/mm]
womit dein Ergebnis zwar seltsam für diese komplex anmutende (ist es ja in Wahrheit nicht) Aufgabe wirkt, aber durchaus richtig ist.
Gruß,
Christian
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