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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Mi 30.11.2011 | | Autor: | jebote |
| Aufgabe | | Es seien [mm] (X,\mathcal{F},\mu) [/mm] ein Maßraum und f: X [mm] \to [0,\infty) [/mm] eine nichtnegative messbare Elementarfunktion (also f [mm] \in \mathcal{E^{+}}), [/mm] die eine (nicht notwendig Standard-) Darstellung f(x) = [mm] \summe_{k=1}^{} \lambda_{k} \I1_{F_{k}} [/mm] (x) mit (nicht als disjunkt angenommen) [mm] F_{k} \in \mathcal{F} [/mm] hat. Zeigen Sie, dass auch mit dieser Darstellung das Integral von f durch [mm] \integral_{}^{}{fd\mu} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \lambda_{k} \mu(F_{k}) [/mm] gegeben ist. |
Muss ich hier nur "Transformationen" durchführen, oder auch "Tricks" anwenden?
Danke für die Hilfe im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:06 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es seien [mm](X,\mathcal{F},\mu)[/mm] ein Maßraum und f: X [mm]\to [0,\infty)[/mm]
> eine nichtnegative messbare Elementarfunktion (also f [mm]\in \mathcal{E^{+}}),[/mm]
> die eine (nicht notwendig Standard-) Darstellung f(x) =
> [mm]\summe_{k=1}^{} \lambda_{k} \I1_{F_{k}}[/mm] (x) mit (nicht als
> disjunkt angenommen) [mm]F_{k} \in \mathcal{F}[/mm] hat. Zeigen Sie,
> dass auch mit dieser Darstellung das Integral von f durch
> [mm]\integral_{}^{}{fd\mu}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \lambda_{k} \mu(F_{k})[/mm]
> gegeben ist.
> Muss ich hier nur "Transformationen" durchführen, oder
> auch "Tricks" anwenden?
Je nach dem , was man unter diesen Begriffen verstehen mag, beides.
Das ist mal wieder so eine Aufgabe, die als Übungsaufgabe in meinen Augen völlig ungeeignet ist.
Daher gebe ich Dir den Rat: einen Beweis findest Du in (fast) jedem Buch zur Maß- und Integrationstheorie.
FRED
>
> Danke für die Hilfe im Voraus.
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