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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Samoth |
Hallo,
Die Aufgabe war, eine Näherungsgormel an das Integral [mm] \integral_{0}^{1} { e^{x}dx} [/mm] unter der Verwendung der Trapezregel zu finden
Die Trapezregel: [mm] \integral_{a}^{b} {f(x) dx} = \bruch{b-a}{2}(f(b) + f(a)) [/mm]
Ich hatte mir nun überlegt: Man zerlegt das Intergral in "n" gleichgroße Teilintervalle und wendet auf diese Teile die Trapezregel an.
Also: mit [mm] x_{i} = a + ih (i=0,1,....,n) [/mm] und dann [mm] h = (b-a)/n [/mm]
habe ich nun: [mm] I_{n} = \bruch{h}{2}[( f(x_{1}) + f(x_{2})) + (f(x_{2}) + f(x_{3})) + ..... + (f(x_{n-1}) + f(x_{n}))] [/mm]
also: [mm] \bruch{h}{2} \summe_{i=0}^{n-1} (f(x_{i}) + f(x_{i+1})) [/mm]
konkret für mein Integral:
[mm] \bruch{1}{2n} \summe_{i=0}^{n-1} (e^{ x_{i}} + e^{ x_{i+1}}) [/mm]
Soweit so gut....Ich bin mir fast sicher das diese Formel so stimmt, jedoch soll ich jetzt noch zeigen, das meine Näherungsformel gegen das Integral konvergiert. Aber ich weiß jetzt gar nicht wie ich das zeigen soll.
Vielleicht kann mir hier jemand helfen.
Viele Grüße,
Samoth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Samoth,
kannst du nicht die [mm] $x_i=i\cdot \frac{1}{n}$ [/mm] einsetzen und dann die [mm] $e^{x_i}=e^{\frac{i}{n}}=\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^i$ [/mm] umschreiben um eine geometrische Reihe auszunutzen. Dann kannst du auch den Grenzwert für [mm] $n\to \infty$ [/mm] durchführen.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Samoth |
Hallo Max,
ich kann dir nicht so recht folgen, muss bei einer geometrischen Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{n} q^{k} [/mm] nicht |q| < 1 gelten, damit sie konvergiert.
und [mm] e^{ \bruch{1}{n}} [/mm] ist doch nicht < 1.
Oder habe ich jetzt irgendwas übersehen?
Viele Grüße,
Samoth
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Di 19.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Samoth,
[mm] $\sum_{i=0}^n q^n [/mm] = [mm] \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$ [/mm] gilt immer. Allerdings ist [mm] $\sum_{i=0}^{\infty} q^n =\frac{1}{1-q}$ [/mm] nur für $|q|<1$ richtig. Schreib es dir mal auf und sieh dir an, wie du den Wert der Summe möglichst vereinfachen kannst. Bei mir konnte ich dann den Grenzwert für [mm] $n\to \infty$ [/mm] bilden.
Max
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