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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Di 24.02.2009
Autor: Martinius

Aufgabe
[mm] $\integral \bruch{1}{x*\wurzel{1-x^2}}=ln\left| \bruch{x}{1+\wurzel{1-x^2}} \right|$ [/mm]

Hallo,

könnte mir bitte jemand auf die Sprünge helfen, wie man dieses Integral angeht?

Vielen Dank im Voraus.

LG, Martinius

        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Di 24.02.2009
Autor: reverend

Hallo Martinius,

substituiere [mm] u=\wurzel{1-x^2}. [/mm]

Führe nach der Substitution eine Partialbruchzerlegung durch. Kontrolle: beide Koeffizienten haben den Betrag [mm] \bruch{1}{2}. [/mm]

Dann integrieren, resubstituieren, und wenn nötig, umformen. Ich finde die Lösungsform, die man so direkt findet, eigentlich schöner. Bedenke: [mm] \ln{a}-\ln{b}=\ln{\left(\bruch{a}{b}\right)} [/mm]

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:13 Di 24.02.2009
Autor: Martinius

Hallo reverend,

besten Dank für die Antwort.

[mm] $\integral \bruch{1}{x\wurzel{1-x^2}}\;dx$ [/mm]

[mm] $v=\wurzel{1-x^2}$ [/mm]

[mm] $\bruch{dv}{dx}=\bruch{-x}{\wurzel{1-x^2}}$ [/mm]

[mm] $\integral \bruch{1}{x\wurzel{1-x^2}}\;dx=\integral \bruch{-1}{x^2}\;dv=\integral \bruch{-1}{1-v^2}\;dv$ [/mm]

[mm] $\integral \bruch{-1}{1-v^2}\;dv=\integral \bruch{1/2}{1-v}-\bruch{1/2}{1+v}\;dv=\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{1-v}{1+v} \right)=\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{1-\wurzel{1-x^2}}{1+\wurzel{1-x^2}} \right)=ln\wurzel{\bruch{1-\wurzel{1-x^2}}{1+\wurzel{1-x^2}}} [/mm] $

Der Nenner sieht schon gut aus - aber der Zähler nicht; und die Wurzel drüber auch nicht.

LG, Martinius

Bezug
                        
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:23 Di 24.02.2009
Autor: reverend

Hallo Martinius,

ab hier ist es dafür "nur noch" das beliebte Umformen von Wurzeln und Logarithmen. Immerhin bist Du doch das Integral losgeworden. ;-)

Grüße
reverend

Bezug
                                
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:27 Di 24.02.2009
Autor: Martinius

Hallo reverend,

na dann ... Ich habe ja heute noch den ganzen Tag Zeit.

Danke.

LG, Martinius

Bezug
                                        
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:32 Di 24.02.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Martinius,

reverends "nur noch" ist ernst gemeint.

Erweitere mal den Bruch unter der großen Wurzel in deiner Lösung mit [mm] $1+\sqrt{1-x^2}$ [/mm] ...

LG

schachuzipus

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Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:54 Di 24.02.2009
Autor: Martinius

Hallo Schachuzipus,

ja, jetzt seh' ich's. Danke Dir!

LG, Martinius

Bezug
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