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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Di 27.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Berechne das folgende Integral!
[mm] \integral_{}^{}{x*arctan(x) dx} [/mm] |
Hallo zusammen^^
ich versuche grad dieses Integral zu knacken,aber bei einer Stelle komme ich nicht mehr weiter.Also ich hab hier parteille Integration gewählt mit u'=x und v=arctan(x)
[mm] =\bruch{1}{2}x^{2}*arctan(x)-\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}x^{2}*\bruch{1}{1+x^{2}}dx}
[/mm]
=
[mm] =\bruch{1}{2}x^{2}*arctan(x)-\integral_{}^{}{\bruch{x^{2}}{1+x^{2}} dx}
[/mm]
jetzt hab ich versucht zu substituieren,also x=tan(t)
[mm] \bruch{dx}{dt}=1+tan^{2}(t) [/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{tan^{2}}{1+tan^{2}}*(1+tan^{2} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{tan^{2} dx}
[/mm]
So und jetzt weiß ich nicht wie ich die Stammfunktion von [mm] tan^{2} [/mm] bestimmen soll.
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen?
vielen dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Di 27.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Du unterschlägst den Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] in der 2. Zeile.
Den entstehenden Bruch musst Du erst umformen:
[mm] $$\bruch{x^2}{1+x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\blue{1 \ +} \ x^2 \ \blue{-1}}{1+x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+x^2}{1+x^2}-\bruch{1}{1+x^2} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{1}{1+x^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Di 27.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
vielen dank Loddar.
>
> Du unterschlägst den Faktor [mm]\bruch{1}{2}[/mm] in der 2. Zeile.
uups,das hab ich vergessen zu tippen.
> Den entstehenden Bruch musst Du erst umformen:
> [mm]\bruch{x^2}{1+x^2} \ = \ \bruch{\blue{1 \ +} \ x^2 \ \blue{-1}}{1+x^2} \ = \ \bruch{1+x^2}{1+x^2}-\bruch{1}{1+x^2} \ = \ 1-\bruch{1}{1+x^2}[/mm]
>
ok,also hab ich [mm] \integral_{}^{}{1-\bruch{1}{1+x^2}dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{1 dx}+\integral_{}^{}{-\bruch{1}{1+x^2}dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{1 dx}=[x]
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{-\bruch{1}{1+x^2}dx}
[/mm]
nun substituieren x:=tan(t) [mm] \bruch{dx}{dt}=1+tan^{2}(t)
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{-\bruch{1}{1+tan^2}*1+tan^2 dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{-1 dx}=[-x]
[/mm]
Jetzt beides zusammengefasst ergibt x-x=0.
Da kann doch was nicht stimmen,was hab ich hier falsch gemacht?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Di 27.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Mandy
1. kennst du doch die Stammfkt von [mm] 1/(1+x^2) [/mm] du hast doch 1 Min vorhert arctan abgeleitet.
2. du substituierst x durch tant, nennst aber in der naechsten Zeile das t wieder x. dein Integral gibt aber t, und dann zurueckzubst. wenn dus so umstaendlich machen musst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Di 27.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy
> 1. kennst du doch die Stammfkt von [mm]1/(1+x^2)[/mm] du hast doch
> 1 Min vorhert arctan abgeleitet.
Ach stimmt ja,dann mach ichs mal auf diese Weise,lautet die Stammfunktion dann [mm] [\bruch{1}{2}x^{2}*arctan(x)-\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{2}arctan(x)] [/mm] ?
> 2. du substituierst x durch tant, nennst aber in der
> naechsten Zeile das t wieder x. dein Integral gibt aber t,
> und dann zurueckzubst. wenn dus so umstaendlich machen
> musst.
lg
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Hallo Mandy_90,
> > Hallo Mandy
> > 1. kennst du doch die Stammfkt von [mm]1/(1+x^2)[/mm] du hast
> doch
> > 1 Min vorhert arctan abgeleitet.
>
> Ach stimmt ja,dann mach ichs mal auf diese Weise,lautet die
> Stammfunktion dann
> [mm][\bruch{1}{2}x^{2}*arctan(x)-\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{2}arctan(x)][/mm]
> ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > 2. du substituierst x durch tant, nennst aber in der
> > naechsten Zeile das t wieder x. dein Integral gibt aber t,
> > und dann zurueckzubst. wenn dus so umstaendlich machen
> > musst.
>
> lg
Gruß
MathePower
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