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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 So 31.08.2008
Autor: marder

Aufgabe
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{-2*sin(x)*cos(x)}{5+(cos(x))^2} dx} [/mm]

Hallo,

das obige Integral ist zu berechnen,...
ich komme mit meiner substitution nicht weiter,

habe u=cos(x) substituiert,  ableitung also -sin(x)

dann habe ich noch [mm] \integral_{}^{}{\bruch{-2u}{5+u^2}dx} [/mm]

...

ich glaub so geht das ganze nicht wirklich; da die funktion von der form f'/f ist gibts doch auch da ne möglichkeit was zu machen soweit ich weiß
ich weiß nur nicht genau was ich dabei machen muss


bitte um hilfe danke

        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 So 31.08.2008
Autor: schachuzipus

Hallo marder,

> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-2*sin(x)*cos(x)}{5+(cos(x))^2} dx}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> das obige Integral ist zu berechnen,...
>  ich komme mit meiner substitution nicht weiter,
>  
> habe u=cos(x) substituiert,  ableitung also -sin(x) [ok]
>  
> dann habe ich noch [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-2u}{5+u^2}dx}[/mm]

Ich denke, das "-" von [mm] $-\sin(x)$ [/mm] und das von $-2$ heben sich auf, so dass du [mm] $\int{\frac{2u}{5+u^2} \ du}$ [/mm] erhältst

Hier kannst du nochmal substituieren: [mm] $t:=u^2+5$ [/mm] ...

>  
> ...
>  
> ich glaub so geht das ganze nicht wirklich; da die funktion
> von der form f'/f ist gibts doch auch da ne möglichkeit was
> zu machen soweit ich weiß
>  ich weiß nur nicht genau was ich dabei machen muss

Ja, das ist das sog. logarithmische Integral [mm] $\int{\frac{f'(u)}{f(u)} \ du}$, [/mm] das als Stammfunktion [mm] $\ln(|f(u)|)+c$ [/mm] hat

Das kannst du dir herleiten, wenn du $t:=f(u)$ substituierst ...

>  
>
> bitte um hilfe danke


LG

schachuzipus

Bezug
        
Bezug
Integral: besser...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 So 31.08.2008
Autor: XPatrickX


> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-2*sin(x)*cos(x)}{5+(cos(x))^2} dx}[/mm]
>  
> Hallo,

Hey

>  
> das obige Integral ist zu berechnen,...
>  ich komme mit meiner substitution nicht weiter,
>  
> habe u=cos(x) substituiert,  ableitung also -sin(x)

Besser wäre hier gewesen [mm] $u=5+(cos(x))^2$ [/mm] zu substituieren, denn davon steht die Ableitung im Nenner...

Grüße  Patrick

Bezug
                
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:50 So 31.08.2008
Autor: schachuzipus

Hi Patrick,

"besser" ist relativ, deine direkte Substitution ergibt sich ja auch als Verknüpfung der beiden obigen Substitutionen.

Aber schneller ist dein Weg auf jeden Fall ;-)


LG

schachuzipus

Bezug
                        
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:11 So 31.08.2008
Autor: marder

danke danke,... habs jetzt auch raus, aber ich denke der einfachste weg ist über das logarithmische integral.

greetz


Bezug
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