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| Aufgabe | [mm] \integral{\bruch{sin^4(x)}{cos^6(x)}}
[/mm]
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Hallo allerseits!
Ich hab die Integrale, von denen ich gar keine Ahnung hatte, wie man sie löst, bis jetzt vor mich hergeschoben und nun stehe ich vor einigen schwierigen Problemen. Könnte mir bitte jemand einige kleine Tipps geben?
Recht üppig sind meine Ansätze diesmal nicht:
[mm] \integral{\bruch{sin^4(x)}{cos^6(x)}}=\integral{\bruch{tan^4(x)}{cos^2(x)}}
[/mm]
So umgeformt wäre [mm] \bruch{1}{cos^2(x)} [/mm] wohl leicht partiell zu integrieren, aber wenn ich [mm] tan^4(x) [/mm] differenziere wird alles wieder kompliziert.
Auch mit Substitution wird die Sache nicht gerade einfacher:
cos(x)=u
[mm] dx=-\bruch{du}{sin(x)}
[/mm]
Denn es bleibt im Nenner ja immer noch [mm] sin^3(x) [/mm] stehen, oder soll ich das auch noch substituieren ?
Vieln Dank!
Gruß
Angelika
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Hallo Angelika,
> [mm]\integral{\bruch{sin^4(x)}{cos^6(x)}}[/mm]
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> Hallo allerseits!
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> Ich hab die Integrale, von denen ich gar keine Ahnung
> hatte, wie man sie löst, bis jetzt vor mich hergeschoben
> und nun stehe ich vor einigen schwierigen Problemen. Könnte
> mir bitte jemand einige kleine Tipps geben?
>
> Recht üppig sind meine Ansätze diesmal nicht:
>
> [mm]\integral{\bruch{sin^4(x)}{cos^6(x)}}=\integral{\bruch{tan^4(x)}{cos^2(x)}}[/mm]
Das ist genau die Umformung, mit der alles wunderbar klappt !
Denke mal scharf an die Ableitung vom Tangens, da gibt's doch 2 Darstellungen:
[mm] $\tan(z)'=\tan^2(z)+1=\frac{1}{\cos^2(z)}$
[/mm]
Also bietet sich die Substitution $u:=...$ an
du warst nur 1 cm entfernt 
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> So umgeformt wäre [mm]\bruch{1}{cos^2(x)}[/mm] wohl leicht partiell
> zu integrieren, aber wenn ich [mm]tan^4(x)[/mm] differenziere wird
> alles wieder kompliziert.
Jo, nicht partiell, mit dem oben Gesagten fällt dir bestimmt ne schöne Substitution ein..
>
> Auch mit Substitution wird die Sache nicht gerade
> einfacher:
doch, sehr sogar
>
> cos(x)=u
> [mm]dx=-\bruch{du}{sin(x)}[/mm]
>
> Denn es bleibt im Nenner ja immer noch [mm]sin^3(x)[/mm] stehen,
> oder soll ich das auch noch substituieren ?
Nee, direkt substituieren, aber anders ...
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> Vieln Dank!
>
> Gruß
>
> Angelika
LG
schachuzipus
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Vielen Dank für deine Hilfe schachuzipus!! ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Nun ist mir alles klar, war wirklich nicht weit entfernt, und trotzdem hab ichs nicht gesehen....
u=tan(x)
[mm] u'=\bruch{du}{dx}=\bruch{1}{cos^2(x)}
[/mm]
[mm] dx=cos^2(x)du
[/mm]
Das kürzt sich so wunderbar....
[mm] \integral{u^4du}
[/mm]
Stf. [mm] \bruch{u^5}{5}
[/mm]
Ergebniss [mm] \bruch{tan^5(x)}{5}+C
[/mm]
Stimmt doch so, oder?
Grüße 
Angelika
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
