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| Aufgabe | | [mm] \integral{sin^2(\omega x+ \varphi) dx} [/mm] |
Hallo!
Da ich für diese Aufgabe keine Lösungsangaben habe möchte ich euch um die Hilfe bei der Korrektur bitten. Würde mich sehr freuen! 
Meine Idee:
Zuerst substituieren:
[mm] \omega x+\varphi [/mm] =z
[mm] z'=\omega=\bruch{dz}{dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\omega}*\integral{sin^2(z) dz}
[/mm]
Stimmt es bis hier? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Dann habe ich versucht mit partieller Integration weiterzumachen:
v'=sin(z) v=-cos(z)
u=sin(z) u'= cos(z)
[mm] \bruch{1}{\omega}*\integral{sin^2(z) dz}=-cos(z)*sin(z)+\integral{ cos^2(z) dz}
[/mm]
v'=cos(z) v=sin(z)
u=cos(z) v'=-sin(z)
[mm] \integral{cos^2(z) dz}=sin(z)*cos(z)+\integral{sin^2(z) dz}
[/mm]
Einsetzen:
[mm] \bruch{1}{\omega}*\integral{sin^2(z) dz}=-cos(z)*sin(z)+sin(z)*cos(z)+\integral{sin^2(z) dz} /-\integral{sin^2(z) dz}
[/mm]
[mm] \integral{sin^2(z) dz}=\bruch{sin(z)[-cos(z)+cos(z)]}{\bruch{1}{\omega}-1}
[/mm]
Stimmt das so?
Dann bräuchte ich doch nur mehr resubst.:
[mm] \bruch{sin(\omega x+\varphi )[-cos(\omega x+\varphi )+cos(\omega x+\varphi )]}{\bruch{1}{\omega}-1}+C
[/mm]
Vielen Dank im Voraus!!
Gruß
Angelika
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Hallo Angelika
> [mm]\omega x+\varphi[/mm] =z
> [mm]z'=\omega=\bruch{dz}{dx}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\omega}*\integral{sin^2(z) dz}[/mm]
>
> Stimmt es bis hier?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann habe ich versucht mit partieller Integration
> weiterzumachen:
Sehr gut 
>
> v'=sin(z) v=-cos(z)
> u=sin(z) u'= cos(z)
>
>
> [mm]\bruch{1}{\omega}*\integral{sin^2(z) dz}=-cos(z)*sin(z)+\integral{ cos^2(z) dz}[/mm]
Also hier hast du nen kleinen Fehler gemacht, und zwar wenn du vor dem Integral das [mm] \bruch{1}{\omega} [/mm] stehen hast, musst du es natürlich auch auf der rechten Seite hinschreiben. Oder halt auf beiden Seiten weglassen.
Das führt dazu, dass im nächsten Schritt dir nicht auffällt, dass du dich im Kreis drehst.... also links das [mm] \bruch{1}{\omega} [/mm] weglassen, dann stimmts soweit (ist auch sinnvoll erstmal nur das Integral zu betrachten, den Faktor berücksichtigen wir später). Warum du dich im Kreis drehen würdest mit der zweiten partiellen Integration zeig ich dir gleich
>
> v'=cos(z) v=sin(z)
> u=cos(z) v'=-sin(z)
>
>
> [mm]\integral{cos^2(z) dz}=sin(z)*cos(z)+\integral{sin^2(z) dz}[/mm]
>
> Einsetzen:
>
> [mm]\bruch{1}{\omega}*\integral{sin^2(z) dz}=-cos(z)*sin(z)+sin(z)*cos(z)+\integral{sin^2(z) dz} /-\integral{sin^2(z) dz}[/mm]
>
So, da wir auf der linken Seite ja nun keinen Faktor stehen haben sollten, damits richtig ist, kommt da natürlich 0 = 0 raus, was zwar richtig ist, uns aber nicht weiterbringt. Das sieht man auch in deinem nächsten Schritt:
> [mm]\integral{sin^2(z) dz}=\bruch{sin(z)[-cos(z)+cos(z)]}{\bruch{1}{\omega}-1}[/mm]
denn -coz(z) + cos(z) ist ja gleich 0 und dann wäre bei dir das Integral über [mm]sin^2(z) = 0[/mm]....
Aber deine Idee war ok, nutze einfach nach der ersten partiellen Integration die Identität [mm]cos^2x = 1 - sin^2x[/mm] und dann klappts ganz einfach.
Gruß,
Gono.
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Hallo Gonozal!
Danke für deine ausführliche Erklärung, du hast mir sehr geholfen! ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Also wäre die Stammfunktion:
[mm] \bruch{-cos(\omega x+\varphi)*sin(\omega x+\varphi)+x}{2*\omega}+C
[/mm]
Richtig?
Gruß
Angelika
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Hiho nochmal
> Also wäre die Stammfunktion:
>
> [mm]\bruch{-cos(\omega x+\varphi)*sin(\omega x+\varphi)+x}{2*\omega}+C[/mm]
>
> Richtig?
Leider nein
Zeig deine Rechenschritte doch nochmal....
MfG,
Gono.
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Hallo Gono!
Du hast gesagt ich soll nach der 1. partiellen Integration weitermachen:
[mm] \integral{sin^2(z) dz}=-cos(z)*sin(z)+\integral{1-sin^2(z) dz}
[/mm]
[mm] \integral{sin^2(z) dz}=-cos(z)*sin(z)+\integral{1 dz}-\integral{sin^2(z) dz}
[/mm]
[mm] \integral{sin^2(z) dz}=-cos(z)*sin(z)+x-\integral{sin^2(z) dz}
[/mm]
Ich glaub ich weiß jetzt was mein Fehler ist. Hab ich vergessen die konstanten zu addieren.Denn eigentlich wäre ja:
[mm] \bruch{1}{\omega}*\integral{sin^2(z) dz}=-cos(z)*sin(z)+\bruch{1}{\omega}*x-\bruch{1}{\omega}*\integral{sin^2(z) dz}
[/mm]
oder?
Das würde dann:
[mm] \integral{sin^2(z) dz}=\bruch{-cos(z)*sin(z)+\bruch{1}{\omega}x}{\bruch{2}{\omega}}
[/mm]
ergeben.
Resubst:
[mm] \integral{sin^2(\omega x+\varphi) dz}=\bruch{-cos(\omega x+\varphi)*sin(\omega x+\varphi)+\bruch{1}{\omega}*x}{\bruch{2}{\omega}}
[/mm]
Ich habe davor einfach ohne konstante weitergerechnet:
[mm] 2*\integral{sin^2(z) dz}=-cos(z)*sin(z)+x [/mm] /:2
[mm] \integral{sin^2(z) dz}=\bruch{-cos(z)*sin(z)+x }{2}
[/mm]
Und jetzt im nachhinein mit [mm] \bruch{1}{\omega} [/mm] multipliziert.Das war der Fehler oder?
Gruß
Angelika
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Na dann wollen wir mal
> [mm]\integral{sin^2(z) dz}=-cos(z)*sin(z)+\integral{1-sin^2(z) dz}[/mm]
>
> [mm]\integral{sin^2(z) dz}=-cos(z)*sin(z)+\integral{1 dz}-\integral{sin^2(z) dz}[/mm]
>
>
> [mm]\integral{sin^2(z) dz}=-cos(z)*sin(z)+x-\integral{sin^2(z) dz}[/mm]
Wo kommt hier dein x her? Überleg mal nochmal, was da stehen muss
>
> Ich glaub ich weiß jetzt was mein Fehler ist. Hab ich
> vergessen die konstanten zu addieren.Denn eigentlich wäre
> ja:
>
> [mm]\bruch{1}{\omega}*\integral{sin^2(z) dz}=-cos(z)*sin(z)+\bruch{1}{\omega}*x-\bruch{1}{\omega}*\integral{sin^2(z) dz}[/mm]
>
> oder?
Nein, wenn dann wäre
[mm]\bruch{1}{\omega}*\integral{sin^2(z) dz}=-\bruch{1}{\omega}cos(z)*sin(z)+\bruch{1}{\omega}*x-\bruch{1}{\omega}*\integral{sin^2(z) dz}[/mm]
Du hast einmal [mm] \bruch{1}{\omega} [/mm] vor dem ersten Summanden vergessen, aber das tut hier nix zur Sache, weil es, wie du es angedacht hast, schon richtig ist
> Ich habe davor einfach ohne konstante weitergerechnet:
Das ist auch richtig so
> [mm]2*\integral{sin^2(z) dz}=-cos(z)*sin(z)+x[/mm] /:2
>
> [mm]\integral{sin^2(z) dz}=\bruch{-cos(z)*sin(z)+x }{2}[/mm]
Ja, bis auf die Kleinigkeit mit dem x stimmts schon
> Und jetzt im nachhinein mit [mm]\bruch{1}{\omega}[/mm]
> multipliziert.Das war der Fehler oder?
Nein, nein, das war schon ok, allerdings musst du dann noch zurücksubstituieren.... mach das mal Schritt für Schritt
Gruß,
Gono.
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Hallo Gonno!
Danke für deine Hinweise!
Was man in der Eile nicht alles vergisst, und im Durcheinander der Variablen.....
Also wäre das Ergebniss:
$ [mm] \bruch{-cos(\omega x+\varphi)\cdot{}sin(\omega x+\varphi)+(\omega x+\varphi)}{2\cdot{}\omega}+C [/mm] $
Gruß und schönen Abend noch!
Angelika
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Hiho,
> Also wäre das Ergebniss:
>
> [mm]\bruch{-cos(\omega x+\varphi)\cdot{}sin(\omega x+\varphi)+(\omega x+\varphi)}{2\cdot{}\omega}+C[/mm]
Ja, soweit richtig, eine Kleinigkeit aber noch
Beachte, dass du den letzten Summanden des Bruches noch in die +C reinwurschteln kannst, weil [mm] \bruch{\varphi}{2\omega} [/mm] auch nur eine Konstante ist.
Das kommt hier durch die Substitution, darum wäre mein Tip auch gewesen, das Integral mal ohne Substitution zu lösen, das ist nämlich schöner, schneller und (denke ich) einfacher
MfG,
Gono.
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