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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Ridvo |
| Aufgabe | Eine Rutschbahn soll wie ein Stück des Graphen einer Polynomdivision dritten Grades verlaufen. Sie soll in A(0/4)und in B(6/0) enden, jeweils mit der Steigung null.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms. Aus Sicherheitsgründen soll an keiner Stelle der Rutschbahn die Steigung betragsmäßig größer als 1 sein.
Ist dieses der Fall? |
Hey du, danke für dein Interesse an meiner Aufgabe.
Ich schreibe am Dienstag eine Klausur und brauche ein wenig Hilfe in Bezug auf meine Übungsaufgabe.
Meine Idee:
- allgm. Formel eines Polynoms: $ [mm] y=ax^3+bx^2+cx+d [/mm] $
- f'(x)<1; Steiung der Rutschbahn weniger als 1
Nun eingesetzt:
A(0/4): 4=0*a+0*b+0*c+d ---> d=4
B(6/0): $ [mm] 0=6^3\cdot{}a+6^2\cdot{}b+6\cdot{}c+d [/mm] $ ---> c=0
Steiung der Punkte ist null, demnach:
$ [mm] m_A=0 [/mm] $
$ [mm] 0=3\cdot{}a\cdot{}0^2+2\cdot{}b\cdot{}0+c [/mm] $
$ [mm] m_B=0 [/mm] $
$ [mm] 0=3\cdot{}a\cdot{}6^2+2\cdot{}b\cdot{}6+c [/mm] $
Ok nun weiß ich nicht mehr weiter.
Wie errechne ich nun a und b, um die Gleichung aufzustellen?
Wann kann ich denn sagen, dass die Steigung der Rutschbahn den Wert 1 nicht überschreitet?
Wie mache ich das?
Ich danke im voraus.
Lg Ridvan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:22 So 09.12.2007 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Also d=4 und c=0 weißt schon schonmal; dann hast du genügend weitere Bedingungen für deine verbleibenden 2 Variabeln.
Forme eine Gleichung z.B. nach a und setze diese in die andere Gleichung ein.
Ich selbst habe als Ergebnis:
[mm] f(x)=\bruch{1}{27}*x³ [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*x² [/mm] + 4, wobei ich dies relativ schnell durchgerechnet hab und das Ergebnis daher ohne Gewähr ist.
Dass die Steigung nirgends größer als 1 ist, ist für mich persönlich keine Bedingung sondern eher eine Frage.
Steigung -> Maximal; das sind so 2 "Schlüsselbegriffe" :D
Ich persönlich würde die Nullstellen der 2. Ableitung berechnen; diese wären die Extrema der 1. Ableitung, also würdest du wissen, ob es einen Wert gibt, der > 1 ist.
Zum überprüfen, ob denn auch wirklich ein Maximum vorliegt, solltest du das ganze dann nochmal in die dritte Ableitung einsetzen und mit dem hinreichenden Kriterium überprüfen.
Nachdem du dann eine Min- und eine Maxstelle erhalten hast, folgt natürlich der große Showdown: du setzt die x- Koordinate des Maximums in die 1. Ableitung ein und erhälst einen y- Wert von..? :)
Lg
Marco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 So 09.12.2007 | | Autor: | Ridvo |
Danke Marco,
wir haben einen graphikfähigen Taschenrechner, der uns a und b vorgibt nur leider weiß ich nicht wie ich das mache.
Und wenn ich a und b nun erhalte, dann weiß ich nicht mehr weiter.... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 So 09.12.2007 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Entschuldige die Verzögerung; als ich vorhin antworten wollte, hat sich mein Internet irgendwie verabschiedet :(
Aber nun:
Falls du zufälligerweise einen Voyage200 oder einen anderen Rechner von Texas Instruments hast ist der "Standartbefehl":
solve("1. Gleichung" and "2. Gleichung",{a,b})
Dann sollte er dir einen Wert für a und b ausgeben; wenn du noch andere Variablen wie d oder c in den Gleichungen hättest, müsstest du dementsprechend noch diese Variablen in den geschweiften Klammern angeben.
Wenn du dann rechnerisch oder per TI deine Lösung für a, b, c und d erhalten hast, setzt du diese einfach in deine "Standartgleichung" 3. Grades ein:
f(x) a*x³+b*x²+c*x+d
Und schon hast du deine Lösung... :)
Das wäre ja hier:
[mm] f(x)=\bruch{1}{27}*x³-\bruch{1}{3}*x²+4, [/mm] meiner Meinung nach.
Lg
Marco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 So 09.12.2007 | | Autor: | Ridvo |
Jaaaa genau ich habs vieeeeeeeeeelen dank !!!!!!!!!!!
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