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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Di 27.11.2007 | | Autor: | Ridvo |
| Aufgabe | f ist gegeben durch
[mm] f_(x)=\bruch{1}{27}(x-3)^2(x+6).
[/mm]
g1 ist die Tangente im Wendepunkt von f,
g2 ist die Tangente in der linken Nullstelle.
Berechnen Sie den Schnittpunkt un den Schnittwinkel von g1 und g2.
Es wird behauptet, der Flächeninhalt von A2 sei genau das Fünffache des Flächeninhalts von A1.
Überprüfen Sie diese Behauptung.
Skizze:
Link 1: [URL=http://imageshack.us][IMG]http://img255.imageshack.us/img255/1329/mathejr1.png[/IMG][/URL]
Link 2 : [URL=http://img255.imageshack.us/my.php?image=mathejr1.png][IMG]http://img255.imageshack.us/img255/1329/mathejr1.th.png[/IMG][/URL]
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Gute Abend,
danke dafür das du hier vorbeischaust um mir zu helfen.
Also habe einige Fragen und bitte höflichst um Hilfe.
Also wie ich vorangehen würde:
Da wir ja den Schnittpunkt von von g1 suchen ist es hier sinnvoll, die Wendestelle auszurechnen, indem ich die zweite Ableitung 0 setze.
Also mit dem Schnittwinkel hab ich echt keine Ahnung, vllt eine Winkelhalbierende einzeichnen?
Und zur Prüfung, ob A2 5 Mal so groß ist wie A1 habe ich keine Idee.
Oder man müsste A1 rechnen und das von A1+A2 abziehen.
A1 mit 5 multiplizieren und schauen ob(A1+A2)-A1 gleichgroß ist.
Als allerletztes Danke ich im voraus.
Einen schönen Abend.
LG Ridvo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Di 27.11.2007 | | Autor: | Hing |
hi, den schnittwinkel kannst du folgendermassen ausrechnen:
g2 ist ja die steigung im linken nullpunkt.
die steigung m bekommst du, indem du f(x) ableitest. und dann die linke nullstelle einsetzt.
mit y = mx + b, hast du schonmal die steigung m und die linke nullstelle x;y. b musst du jetzt nur noch ausrechnen.
das machst du mit g1 genauso, nur dass es mit der zweiten ableitung gemacht wird.
wie man auf dem bild sieht bildet das ganze ein dreieck. das kann man dann leicht ausrechnen.
mit dem integral ist es folgendermassen:
da du mit der obereren aufgabe die funktionen für g1, g2 und f(x) hast, kannst du auch damit deren flächeninhalt ausrechnen.
also erstmal g2 von der nullstelle bis zum schnittpunkt + vom schnittpunkt bis zum wendepunkt. dann erhälst du eine fläche bis zur x-achse(!).
dann die fläche ausrechnen von der linken f(x)-nullstelle bis zum wendepunkt.
die g1-g2 fläche minus der f(x) fläche. das ist die graue fläche (A1).
ist die graue fläche 5 mal grösser als A2?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Di 27.11.2007 | | Autor: | Ridvo |
Vielen Dank, Hing!!!!!
Ich versuche es mal:
[mm] f_(x)=\bruch{1}{27}(x-3)^2(x+6)
[/mm]
[mm] f_(x)=\bruch{2}{27}(x-3)
[/mm]
[mm] f''_(x)=\bruch{2}{27}
[/mm]
Ist das richtig?
Die linke Nullstelle beträgt N(-6/0)
Und nun setzte ich sie in die Tangentengleichung y=mx+b ein.
Aber was ist mit der Steigung m. Die habe ich doch nicht.
0=m*(-6)+b
Schritt 2:
Um den Wendepunkt auszurechnen, bilde ich die 2te Ableitung und setze dort die Nullstellen der rechten Geraden ein, die da lautet: [mm] N_2=(2/0).
[/mm]
Eingesetzt in die Tangentenglg. ergibt es :
0=m*2+b
Soweit richtig?
Und wenn ja, wie errechne ich dann mit den 3 Gleichungen die Fläche?
Wie lautet denn hier die Formel?
Ansonsten hab ich es verstanden, nur weiß ich nicht ob ich Rechenfehler bzw. Denkfehler drin habe.
Vieeeeeeeelen Dank im voraus und einen schönen Abend/Tag!
LG Ridvo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:42 Mi 28.11.2007 | | Autor: | SLe |
Deine Ableitungen passen schon nicht. Du mußt zum Ableiten entweder Produkt- und Kettenregel anwenden, oder erst ausmultiplizieren und dann ableiten.
Wenn du das richtig hast, kannst du mit der 2. Ableitung (gleich Null setzen) den x-Wert des Wendepunktes bestimmen.
Die Tangente im jeweiligen Punkt kannst du über die erste Ableitung erhalten, wobei du den x-Wert des jeweiligen Punktes (durch den die Tangente verlaufen soll) in die 1. Ableitung einsetzt. Das Ergebnis ist die Steigung.
Nun hast du die Steigungen der Tangenten und jeweils einen Punkt durch den sie verlaufen. Daraus kannst du dir die Tangentengleichungen bestimmen.
Die Fläche A1 läßt sich bestimmen, nachdem du den Schnittpunkt der beiden Geraden kennst.
Nun bildest du das Integral von der Nullstelle von g2 bis zum Schnittpunkt der beiden Geraden über g2(x)-f(x).
Anschließend das Integral vom Schnittpunkt der beiden Geraden bis zum Schnittpunkt von g1 und f über g1(x)-f(x).
Die beiden Ergebnisse addiert ergeben A1
Also:
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] \integral_{N_{g2}}^{S_{g}}{g_{2} - f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{S_{g}}^{S_{g1f}}{g_{1}(x) - f(x) dx}
[/mm]
Analog dazu:
[mm] A_{2} [/mm] = [mm] \integral_{N_{g2}}^{S_{g1f}}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{S_{g1f}}^{N_{g1}}{g_{1}(x) dx}
[/mm]
wobei [mm] N_{g1} [/mm] die Nullstelle von g1 ist.
Ich weiß allerdings nicht genau, ob A2 auch wirklich das ist, was ich meine. Wird nämlich aus der Zeichnung nicht so ganz klar, durch was die Fläche begrenzt wird.
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