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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Mo 17.09.2007 | | Autor: | fuchsone |
| Aufgabe | Berechne das Integral:
[mm] \integral_{0}^{\pi /2} e^{x} \* cos^{2}x [/mm] dx |
Mein Ansatzt ist über die Partielle Intergation :
[mm] \integral_{0}^{\pi /2} e^{x} \* cos^{2}x [/mm] = [ [mm] e^{x} \* cos^{2}x] [/mm] -
[mm] \integral_{0}^{\pi /2} e^{x} \* [/mm] 2cosx(-sinx) dx
ist dieser ansatzt erstmal so richtig? und wie komme ich nun weiter?
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Hallo fuchsone,
> Berechne das Integral:
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi /2} e^{x} \* cos^{2}x[/mm] dx
> Mein Ansatzt ist über die Partielle Intergation :
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi /2} e^{x} \* cos^{2}x[/mm] = [ [mm]e^{x} \* cos^{2}x][/mm]
> -
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi /2} e^{x} \*[/mm] 2cosx(-sinx) dx ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> ist dieser ansatzt erstmal so richtig? und wie komme ich
> nun weiter?
>
Jo, das ist schon mal ein sehr guter Anfang.
Du hast also bisher:
[mm] $\int{e^x\cos^2(x)dx}=e^x\cos^2(x)-\int{e^x(-2\sin(x)\cos(x))dx}=e^x\cos^2(x)+2\int{e^x[\sin(x)\cos(x)]dx}$
[/mm]
Mache hier eine weitere partielle Integration beim hinteren Integral
[mm] $2\int{e^x[\sin(x)\cos(x)]dx}$
[/mm]
Setze dazu [mm] $u(x):=\sin(x)\cos(x)$ [/mm] und [mm] $v'(x):=e^x$
[/mm]
Dann erhätst du einen Ausdruck, in dem das Ausgangsintegral vorkommt.
Stelle dann die Gleichung nach dem Integral um und du hast die Lösung...
LG
schachuzipus
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Hallo,
ich hab das mal zu rechnen versucht, komme aber nicht auf die richtige Lösung.
[mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} e^x*cos^{2}(x)\, dx= \left[e^x*cos^{2}(x)\right]_{0}^{\bruch{pi}{2}}+2*\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} e^x*cos(x)*sin(x)\, dx[/mm]
[mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} e^x*cos^{2}(x)\, dx= \left[e^x*cos^{2}(x)\right]_{0}^{\bruch{pi}{2}}+2*e^x*cos(x)*sin(x)+2*\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}e^{x}*sin^{2}(x)\, dx-2*\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}e^{x}*cos^{2}(x)\, dx[/mm]
[mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} e^x*cos^{2}(x)\, dx= \left[e^x*cos^{2}(x)\right]_{0}^{\bruch{pi}{2}}+2*\left[e^x*sin(2x)\right]_{0}^{\bruch{\pi}{2}}+2*\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}e^{x}\, dx-4*\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}e^{x}*cos^{2}(x)\, dx[/mm]
[mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} e^x*cos^{2}(x)\, dx=\bruch{1}{5}* \left[e^x*\left(2+cos^{2}(x)+sin(2x)\right)\right]_{0}^{\bruch{pi}{2}}[/mm]
Mathematica meint das Integral heißt:
[mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} e^x*cos^{2}(x)\, dx=\bruch{1}{10}* \left[e^x*\left(5+cos(2x)+2*sin(2x)\right)\right]_{0}^{\bruch{pi}{2}}[/mm]
Vielen Dank fürs Drüberschauen.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
du hast das Integral richtig gelöst, Mathematica aber auch 
Es sind dieselben Ausdrücke, nur anders geschrieben...
Du kannst die eine in die andere überführen mit den beiden Regeln:
[mm] $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$ [/mm] und [mm] $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$
[/mm]
Außerdem musst du einmal [mm] $-\sin^2(x)=\cos^2(x)-1$ [/mm] benutzen.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:21 Di 18.09.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo Schachuzipus,
vielen Dank für den Tipp.
LG, Martinius
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