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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Do 14.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion f, die für alle x>0 durch die Formel f(x)= [mm] 4ln(\wurzel{x+4}-2) [/mm] definiert ist.
a) Zeigen Sie, dass f eine inverse Funktion g hat, und finden sie eine Formel für g.
b) Zeichnen Sie die Graphen von f und g in dasselbe Koordinatensystem.
c) Wir möchten [mm] A=\integral_{5}^{10}{4ln(\wurzel{x+4}-2) dx} [/mm] berechnen. Geben Sie eine geometrische Interpretation von A an. Erklären Sie, warum [mm] A=10*a-\integral_{0}^{a}{(e^(x/2) + 4e^(x/4) dx}, [/mm] wobei a=f(10).
Benutzen Sie dies, um A in Abhängigkeit von a auszudrücken. |
Hey,
ich hab mir mal die Inverse versucht auszurechnen:
zu a)
[mm] g(x)=(\bruch{x}{4ln})+2)^2 [/mm] - 4
stimmt das überhaupt?
Kenn mich nüsse aus beim Integral.
Wär extra supi nett von euch, wenn mir jemand helfen könnte.
Lg Aeryn
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Hallo Aeryn!
Was hast Du denn bei der Ermittlung der Umkehrfunktion gerechnet? Du kannst doch nicht einfach durch einen "losen" [mm] \ln [/mm] teilen. Das ist schließlich eine Funktion (wie z.B. [mm] $\sin [/mm] x$ ).
Um den [mm] \ln [/mm] zu eliminieren musst Du die entsprechende Umkehrfunktion, die e-Funktion anwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Do 14.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
ok, habs versucht:
wie ist diese lösung?
[mm] (\bruch{e^{x}}{4} [/mm] + [mm] 2)^2 [/mm] - 4
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Hallo Aeryn!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nun stimmt's ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Do 14.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
Wie ist nochmal ln x integriert?
bzw der ausdruck?
ln [mm] (\wurzel [/mm] {x+4}-2)
differeziert wäre ja ln x -> 1/x
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Do 14.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi.
ich denke, dass du hier alternativ rangehen kannst bzw. sollst.
Deinen Logarithmus zu integrieren sollte gehen, [mm] \integral{ln(x)dx}=x*ln(x)-x
[/mm]
ist hier aber unnötig.
Versuche doch mal, deine Funktion zu zeichnen und die Umkehrfunktion.
Dann guckst du dir die Fläche an, die du integrieren musst, und diese Fläche findest du dann auch irgendwo wieder, wenn du dir die Umkehrfunktion anguckst.
Dann musst du noch deine Grenzen etwas verändern (da ja bei der Umkehrfunktoin x und y vertauscht sind), und dann kannst du einfach die Umkehrfunktion (deine schöne e hoch Funktion) integrieren.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Do 14.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
| Aufgabe | c) Wir möchten [mm] A=\integral_{5}^{10}{4ln(\wurzel{x+4} - 2) dx} [/mm] berechnen. Geben Sie eine geometrische Interpretation von A an. Erklären Sie, warum
[mm] A=10*a-\integral_{0}^{a}{e^{x/2} + 4e^{x/4} dx}, [/mm] wobei a =f(10).
Benutzen Sie dies, um A in Abhängigkeit von a auszudrücken. |
ich nehm jetzt mal an die zu integrierende fläche ich die zwischen den beiden graphen?
ich habs mal mit integrieren versucht:
[mm] 4(\wurzel{x+4} -2)*ln(\wurzel{x+4}-2)
[/mm]
kann mir jemand bestätigen:
f(10) = [mm] 4+ln(\wurzel{10+4} [/mm] -2) = 2,219
Was meint man damit: "geben sie eine geometrische Interpretation?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Do 14.06.2007 | | Autor: | Kroni |
> c) Wir möchten [mm]A=\integral_{5}^{10}{4ln(\wurzel{x+4} - 2) dx}[/mm]
> berechnen. Geben Sie eine geometrische Interpretation von >A an.
Mit der geometrischen Interpretation meint man, dass man sagt: Die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse im Bereich von x=5 und x=10 (s.h. meine Skizze).
Diese Fläche findest du jetzt auch bei der orange gezeichneten Umkehrfunkton (die [mm] y=e^{x/2}+4e^{x/4} [/mm] lautet!) finden (das habe ich mal gezeichnet: Diese Fläche, die du suchst, liegt zwischen der y-Achse und dem Graphen der Umkehrfunktion. Die waagerechten Geraden mit y=5 und y=10 begrenzen die Fläche.
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Erklären Sie, warum
> [mm]A=10*a-\integral_{0}^{a}{e^{x/2} + 4e^{x/4} dx},[/mm] wobei a
> =f(10).
> Benutzen Sie dies, um A in Abhängigkeit von a
> auszudrücken.
> ich nehm jetzt mal an die zu integrierende fläche ich die
> zwischen den beiden graphen?
Nein. Wie dieses Integral zusatnde kommt, verstehst du, wenn du dir mein Bild oben ansiehst!
>
> ich habs mal mit integrieren versucht:
>
> [mm]4(\wurzel{x+4} -2)*ln(\wurzel{x+4}-2)[/mm]
>
> kann mir jemand bestätigen:
>
> f(10) = [mm]4+ln(\wurzel{10+4}[/mm] -2) = 2,219
Es müsste heißen: [mm] \integral^{10}_{5}{4ln(\sqrt{x+4}-2)dx} [/mm] und das ist genähert 6.260 FE.
>
> Was meint man damit: "geben sie eine geometrische
> Interpretation?
s.h. oben, ich denke, die Skizze dürfte vieles vereinrachen!
>
> Lg
LG,
Kroni
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Do 14.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
Du meinst die Fläche 1?
Was ist mit der 2. Fläche?
Und wie "erkläre ich das?
[mm] A=10\cdot{}a-\integral_{0}^{a}{e^{x/2} + 4e^{x/4} dx}
[/mm]
warum das so ist?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Do 14.06.2007 | | Autor: | Kroni |
> Du meinst die Fläche 1?
>
> Was ist mit der 2. Fläche?
Hi, genau die Flächen meine ich.
>
>
> Und wie "erkläre ich das?
Die Fläche Nr. 2 ist laut Aufgabenstellung gesucht.
Die Fläche Nr. 1 ergibt sich durch folgende Überlegung:
Die Umkehrfunktion, die wir oben bestimmt haben (also die e hoch -Funktion) ensteht geometrisch betrachtet aus der Spiegelung der eigentlichen Funktion an der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten (die blaue Gerade y=x in der Skizze).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn du dir jetzt Fläche Nr. 2 anguckst, die du bereechnen sollst, und auch diese mit an der Winkelhalbierenden spiegelst, so ensteht Fläche Nr. 1 (die den selben Flächeninhalt hat).
Nun hast du ja schon die Rechenvorschrift gegeben:
$ [mm] A=10\cdot{}a-\integral_{0}^{a}{e^{x/2} + 4e^{x/4} dx} [/mm] $ mit a=f(10), also:
$ [mm] A=10\cdotf(10)-\integral_{0}^{f(10)}{e^{x/2} + 4e^{x/4} dx} [/mm] $
Das 10*f(10) ist das Rechteck, welches 10 Einheiten hcoh ist und f(10) Einheiten breit.
Das f(10) kommt daher, da die Umkerhfunktion genau 10 als y-Wert ausgibt, wenn man hier f(10) als Argument liefert (das solltest du dir mal logisch klarmachen: Berechne ich aus einem x-Wert den Funktionswert f, und stecke diesen Funktionswert in die Umkehrfunktion als neues x für die Umkehrfunktion, so "spuckt" mir die Umkehrfunktion als y-Wert den x-Wert der Funktion f aus (in diesem Falle also 10).
So hat man das Rechteck, welches 10 Einheiten hoch ist und f(10) Einheiten breit ist (das Rechteck ist in der Skizze durch den Antrazithfarbenen senkrechten Strich markiert).
Wenn du den Flächeninhalt hast, und von diesem den Flächeninhalt abziehst, der von der x-Achse und der Umkehrfunktion zwischen x=0 und x=f(10) eingegrenzt wird, so hast du genau deine Fläche Nr. 1.
So setzt sich dann also die Fläche Nr. 1 zusammen, und so hast du dann ohne große Rechnung deine Fläche Nr.2 von der du ausgehen solltest, durch die Umkehrfunktion ausgedrückt.
LG
Kroni
>
> [mm]A=10\cdot{}a-\integral_{0}^{a}{e^{x/2} + 4e^{x/4} dx}[/mm]
>
> warum das so ist?
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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>
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Do 14.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
kommt für a= 2,219348724
hab [mm] f(10)=4ln(\wurzel{x+4} [/mm] - 2) eingesetzt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Do 14.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, [mm] f(10)\approx2.2193
[/mm]
Das solltest du aber erst hinterher einsetzten und nicht mit einer gerundeten Zahl rechnen.
Setze doch erstmal die Grenze als f(10) ein, und dann hinterher für f(10) die [mm] 4ln(\sqrt{10+4}-2), [/mm] dann hebt sich ja das ln auch schon weg etc...sieht dann schöner aus, wenn man dann am Ende einen Ausdruck stehen hat, und diesen dann Nähert, als für a ne Zahl wie 2.22 einzustezen.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Do 14.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
Ich kämpfe noch mit dem Integral:
4 ln [mm] (\wurzel{x+4} [/mm] - 2) integriert wäre doch
[mm] 4*(\wurzel{x+4} [/mm] - 2) * ln [mm] (\wurzel{x+4} [/mm] - 2) - [mm] (\wurzel{x+4} [/mm] - 2)
also so wie x ln x -x
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Do 14.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Grüß Dich, Aeryn!
Vorsicht! Es ist zwar
[mm] \integral [/mm] ln x dx = x*ln(x) -x + c
aber ln(f(x))
kannst Du so nicht integrieren! Das funktioniert aus dem gleichen
Grunde nicht aus dem heraus Du beim Ableiten mit der Kettenregel
die innere Ableitung berücksichtigen musst.
Ich glaube das Integral analytisch sauber auszurechnen ist eine
sportliche Leistung und ich habe den leisen Verdacht, dass Du
die Aufgabe mit dem GTR näherungsweise lösen sollst.
Falls doch nicht würde ich es mit Substitution versuchen:
[mm] u=\wurzel{x+2}-2
[/mm]
mit
[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{2\wurzel{x+2}}
[/mm]
und
dx = 2(u+2)du
und damit
[mm] \integral [/mm] 2(u+2)*ln(u) du
Von hier aus würde ich versuchen mit partieller Integration
weiterzukommen.
Außerdem habe ich einmal Maple (ein leistungsstarkes Computer-
programm) gefragt. Maple bietet mir als Stammfunktion
[mm] \integral ln(\wurzel{x+2}-2) [/mm] dx
= [mm] ln(\wurzel{x+2}-2)*x [/mm] - [mm] 2*ln(\wurzel{x+2}-2)-\bruch{1}{2}x
[/mm]
[mm] +5-2\wurzel{x+2}+c
[/mm]
Ich hoffe, das hilft Dir zumindest ein wenig weiter!
Liebe Grüße
Markus-Hermann
P.S.: Die Originalaufgabe und die Beiträge einiger anderer
Forenmitglieder auch noch lesend (sorry, bin noch Newbie)
schließe ich mich der Umkehrfunktionsfraktion an:
Zeichne das Schaubild, markiere die Zielfläche,
drehe es um 90 Grad nach links, spiegele es an der nun senkrecht
stehenden x-Achse, sehe, dass x(y) gerade die e-Funktionenfolge
aus dem Aufgabenhinweis ist und dass sich die markierte Gesamtfläche
durch das Drehen und spiegeln nicht geändert hat und integriere das!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Do 14.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi.
Berechne doch den Wert des Integrals mit Hilfe der Umkehrfunktion, so, wie es dort mit [mm] A=10a-\integral [/mm] usw. steht.
Dort hast du eine relativ simple e-Funktion, die du ohne weiteres Integrieren kannst!
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Do 14.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
Na gut, das integral von dem wäre:
[mm] (2e^{x/2} [/mm] + [mm] 16e^{x/4}
[/mm]
nur trotzdem muss ich 4 [mm] ln(\wurzel{x+4} [/mm] - 2) integrieren, um mir die grenzen von 5 und 10 auszurechnen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Do 14.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi.
Nein, du brechnest den Flächeninhalt via 10*f(10) um das Rechteck zu haben.
Dann integrierst du deine e hoch Funktion von 0 bis f(10) und berechnest dann 10*f(10) minus die integrierte e hoch Funktion, und du hast die Fläche, die gesucht ist.
Da muss man nirgendwo den ln integrieren.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Do 14.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
also ist es zu kompliziert um das integral von ln auszurechnen?
gut, hab jetzt alles berechnet und mir kommt 6,26 raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Do 14.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi.
Man kann es theoretisch ausrechnen mit Hilfe der Substiution und sowas...aber hier auf diesem Weg geht es doch mit Hilfe der Umkehrfunktion viel einfacher!
eine e hoch Funktion zu integrieren ist doch das einfachste!
Wenn du das jetzt mit dem Rechtesfläche minus Integralfläche etc gemacht hast, und du 6.26 FE raus hast, stimmt das.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 Do 14.06.2007 | | Autor: | Aeryn |
Herzlichen Dank für die Hilfe.
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