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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Mi 24.01.2007 | | Autor: | tommy987 |
| Aufgabe | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{x-1}-\wurzel{x-2}}dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{x^2+x+1}}dx}
[/mm]
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Mit welcher Methode kann ich hier ansetzen? Kann ich hier ganz einfach den Bruch umdrehen?
lg Tommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Mi 24.01.2007 | | Autor: | Mary15 |
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{x-1}-\wurzel{x-2}}dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{x^2+x+1}}dx}[/mm]
>
>
> Mit welcher Methode kann ich hier ansetzen? Kann ich hier
> ganz einfach den Bruch umdrehen?
>
> lg Tommy
Hallo!
Du kannst Nenner und Zähler mit [mm] \wurzel{x-1}+\wurzel{x-2} [/mm] multiplizieren. Danach im Nenner binomischen Formel a² - b² verwenden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Mi 24.01.2007 | | Autor: | riwe |
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{x-1}-\wurzel{x-2}}dx}[/mm]
nenner rational machen ergibt
[mm] \bruch{1}{\wurzel{x-1}-\wurzel{x-2}}=\wurzel{x-1}+\wurzel{x-2}
[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{x^2+x+1}}dx}[/mm]
ziemlich mühsam
>
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> Mit welcher Methode kann ich hier ansetzen? Kann ich hier
> ganz einfach den Bruch umdrehen?
>
> lg Tommy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Do 25.01.2007 | | Autor: | tommy987 |
Das erste is mit klar und wie kann ich beim 2. ansetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Do 25.01.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Das erste is mit klar und wie kann ich beim 2. ansetzen?
Beim zweiten kannst Du erstmal den Term unter dem Wurzel mit Hilfe der quadratischen Ergänzung umformen.
[mm] \wurzel{(x+\bruch{1}{2})^2 + \bruch{3}{4}}
[/mm]
Dann Substitution [mm] \wurzel{(x+\bruch{1}{2})^2 + \bruch{3}{4}} [/mm] = t
Nach dem Umformen kriegst Du zwei Integrale [mm] \integral{dt} [/mm] und
[mm] \bruch{-1}{2}\integral{\bruch{dt}{\wurzel{t^2- \bruch{3}{4}}}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Do 25.01.2007 | | Autor: | riwe |
oje, das ist etwas mühselig!
man verwendet die (eine der) eulersche(n) substitution(en):
[mm]\sqrt{x²+x+1}=t-x[/mm]
und wenn ich mich nicht vertan habe, sollte am ende dastehen, aber wirklich ohne gewähr:
[mm] I=\integral_{}^{}{\frac{2(t²-1)}{(2t+1)²} dt}
[/mm]
und letztlich
[mm]I=\sqrt{x²+x+1}-ln(2\sqrt{x²+x+1}+2x+1)[/mm]
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