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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Mo 31.07.2006 | | Autor: | santor |
Hier ist die Lösung eines Integrals. Schreibe das mal ab, wie es im Buch steht:
[mm] I=x/(1-x^2)^{1/2}*dx [/mm] lässt sich mit Hilfe der Substitution x=sin(u), dx/du=cos(u), dx=cos(u)*du
[mm] (1-x^2)^{1/2}=(1-sin^2(u))^{1/2} =(cos^2(u))^{1/2}=cos(u) [/mm] lösen:
[mm] x/(1-x^2)*dx=sin(u)/cos(u)*cos(u)*du=sin(u)*du. [/mm] (Alles im Integralzeichen.
Meine Frage ist, warum ist die Wurzel aus [mm] cos^2(u) oder(cos^2(u)^{1/2}=cos(u) [/mm] Es gibt doch eine positive und negative Lösung.
+cos(u) und -cos(u). Dann stände auch im Integral was anderes. [mm] x^2=9 [/mm] hat ja auch 3 und -3 als Lösung. Aber aus gehend davon dass die Wurzel nur cos(u) ist rechnen die weiter und kommen zum richtigen Endergebnis. kann mir wer sagen, warum -cos(u) nicht berücksichtigt wird und werden muss?
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Hallo Jens,
Formal müsst man [mm] (cos^2(u))^{1/2}=|cos(u)| [/mm] auflösen.
Du kannst die Funktion aber nur im Intervall [-1,1] betrachten, weil sonst die Funktion nicht definiert ist. Wenn Du die Grenzen mittransformierst ergibt sich [mm] arcsin(-1)=-\bruch{\pi}{2}, arcsin(1)=\bruch{\pi}{2} [/mm] und im entsprechenden Intervall ist der cos positiv, also fallen die Betragsstriche weg.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Mo 31.07.2006 | | Autor: | santor |
aber warum beschränkt man sich hier dann auf das intervall von -pi/2 bis pi/2 ? Man kann bei cos(u) doch jeden Winkel einsetzen, egal ob betragsstriche da sind oder nicht. Kann das jemand genau erklären, warum die betragsstriche einfach wegfallen?
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Hallo santor,
> aber warum beschränkt man sich hier dann auf das intervall
> von -pi/2 bis pi/2 ?
Weil die ursprüngliche Funktion auf [-1,1] beschränkt ist (Wieso?).
Das neue Intervall ergibt sich dann mit der  Substitutionsregel
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Di 01.08.2006 | | Autor: | santor |
Oder liegt es daran, dass man u ja mit dem arcsin ausrechnet und dieser nur von -pi/2 bis pi/2 definiert ist?
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Hallo santor,
> Oder liegt es daran, dass man u ja mit dem arcsin
> ausrechnet und dieser nur von -pi/2 bis pi/2 definiert
> ist?
Hier vertauschst du wohl Ursache und Wirkung. Du kannst nur sin(x) substituieren wenn der Integrationsbereich im Wertebereich des Sin liegt.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Di 01.08.2006 | | Autor: | santor |
Der Integrationsbereich liegt ja im Wertebereich(-pi/2 bis pi/2). Der Wertebereich geht von -1 bis 1. aber außer von-pi/2 bis pi/2 könnte man doch auch noch andere(alleWerte für x) zulassen. Der sin(x) ist ja immer zwischen 1 und -1. Warum sagt man jetzt hier nur von -pi/2 bis pi/2? Es wär ja alles erlaubt.???
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Hallo santor,
> Der Integrationsbereich liegt ja im Wertebereich(-pi/2 bis
> pi/2). Der Wertebereich geht von -1 bis 1. aber außer
> von-pi/2 bis pi/2 könnte man doch auch noch
> andere(alleWerte für x) zulassen. Der sin(x) ist ja immer
> zwischen 1 und -1. Warum sagt man jetzt hier nur von -pi/2
> bis pi/2? Es wär ja alles erlaubt.???
Man könnte auch versuchen das Integral mit komplizierteren Grenzen zu lösen aber warum sollte man? Aber kannst du ja durchaus mal probieren z.B. mit [mm] [-\bruch{\pi}{2},\bruch{5*\pi}{2}] [/mm] Dann mußt Du natürlich die Betragsstriche stehen lassen. Kommt das gleiche raus?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Di 01.08.2006 | | Autor: | santor |
Das Ausgangsintegral ist ja [mm] I=x/(1-x^2)^{1/2}*dx, [/mm] man substituiert x=sin(u). as Integral ist unbestimmt und hat keine Grenzen. Wie kommt es dann überhaupt zu den Grenzen, -pi/2 bis pi/2? Man könnte ja dann jedes intervall nehmen. Nur wenn man die Betragsstriche dann nicht weglässt und der Kosinus negativ ist, dann bleibt beim Kürzen ein - über. Das Integral käme dann genauso heraus nur mit einem( - )davor. Ist ja nicht dasselbe sondern vorzeichenverkehrt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Mi 02.08.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo santor!
Du musst hier aber auch den Definitionsbereich der zu integrierenden Funktion $f(x) \ = \ [mm] \bruch{x}{\wurzel{1-x^2 \ }}$ [/mm] beachten.
Aufgrund der Wurzel im Nenner gilt für den Definitionsbereich:
[mm] $D_x [/mm] \ = \ [mm] \left] \ -1 \ ; \ +1 \ \right[ [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ x\in\IR \ \left| \ -1 \ < \ x \ < \ +1 \ \right\}$
Und dieses Intervall $-1 \ < \ x \ < \ +1$ wird für $\arcsin(x)$ genau durch das Intervall $-\bruch{\pi}{2} \ < \ x \ < \ +\bruch{\pi}{2}$ abgedeckt bzw. ist der $\arcsin(x)$ genau für dieses Intervall definiert.
Gruß
Loddar
[/mm]
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