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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Do 13.04.2006 | | Autor: | m.a.x. |
| Aufgabe | Die y-Achse, die Tangente in Ck (Schaubild der Funktion fk) und die Gerade mit der Gleichung y=4 bilden ein Dreieck. Zeige, dass das Schaubild Ck dieses Dreieck in einem von k unabhängigen Verhältnis schneidet.
fk(x) = 2 e^kx. |
Ich habe die Lösung zu dieser Aufgabe,
die Tangente ist y=2kx+2
man geht so vor, dass man sich zunächst A für die Fläche zwischen Ck, der y-Achse und y=4 beschafft, dieses muss man dann ins Verhätnis zum Dreieck setzen und erhält ein Ergebnis ohne k.
Meine Frage ist: Die Fläche A zwischen Ck, y-Achse und y=4, wie groß ist die, wenn ihr das nachrechnet?
Die Lösungen sagen: A= 2/k (2ln2 - 1), ich hab da aber A= 2/k (2ln2 - 2) raus, das müsste meine Meinung nach auch stimmen, oder??????
Danke schonmal im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Fr 14.04.2006 | | Autor: | Fugre |
Hallo Max,
sind deine Angaben vollständig?
Gruß
Nicolas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 14.04.2006 | | Autor: | m.a.x. |
ohje, das stimmt!
Hab ich hier alle verwirrt! Die Tangente in P(0/2) natürlich :)
Oh Gott!!!
Dann müsste es aber vollständig sein,
die Frage geht eigentlich auch nur darum, wie das Integral von y=4 minus das der Funktion fk(x) aussieht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Fr 14.04.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo m.a.x.
hoffen wir, dass die Aufgabe so nicht formuliert war.
Aus Deiner Gleichung für die Tangente schließe ich, dass sie das Schaubild der Funktion in (0;2) berühren soll.
Schneiden eines Dreiecks?? Vermute ich mal, dass das Dreieck in zwei Teilflächen zerschnitten wird.
Mit diesen Vermutungen erhlate ich für die gesuchte Fläche:
[mm]A = \frac{2 ln(2) - 2}{k}[/mm]
was nun leider mit keiner der beiden von Dir angegebenen Lösungen übereinstimmt.
Es würde doch helfen, wenn Die AUfgabe verständlicher aufgeschrieben wäre und Du Deinen Lösungsweg vorstellst. Schnittpunkte, Integrale,..
Ansonsten ist das alles für die Fragestellung viel zu viel Arbeit. x kommt immer nur in der Verknüpfung kx vor. k ist also ein Stauchfaktor für die x-Achse. Daher werden alle diese Figuren entsprechend mitgestaucht und daher bleiben die Verhältnisse konstant.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Fr 14.04.2006 | | Autor: | m.a.x. |
| Aufgabe | Die exakte Aufgabe:
Für jedes k>0 ist eine Funktion fk gegeben durch fk (x) = 2e^kx. x ist Element der reellen Zahlen und das Schaubild sei Ck.
Aufgabe: Die y-Achse, die Tangente von Ck in A und die Gerade mit der Gleichung y=4 bilden eine Dreieck. Zeige: Das Schaubild Ck teilt dieses
Dreieck in einem von k unabhängigen Verhältnis.
A hat die Koordinaten A(0/2) und alle Kurven Ck verlaufen durch A.
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Wenn ich nun davon ausgehe, dass innerhalb dieses Dreiecks die Fläche von Ck, der Parallelen zur x-Achse und der y-Achse ins Verhältnis zu dem Dreieck als Ganzes gesetzt werden soll, dann brauch ich erstmal dieses Integral. Und das kriege ich nicht, bin schon ewig am suchen, aber die angegebene Lösung 2/k (2 ln2 - 1) für Fläche zwischen y-Achse, y=4 und Ck krieg ich nicht raus.
Ergebnis dann: A (Dreieck) / A (zwischen y-Achse, y=4 und Ck) ist
1/2(2ln2-1)
Bewiesen: k kommt nicht vor....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Fr 14.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo m.a.x.!
Hier ein Hinweis für die gesuchte Fläche zwischen y-Achse, Kurve [mm] $C_k$ [/mm] und der Geraden $y \ = \ 4$ (siehe Skizze):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Um diese Fläche berechnen zu können, benötigen wir die Schnittstelle von [mm] $f_k(x)$ [/mm] mit der Geraden:
[mm] $2*e^{k*x} [/mm] \ = \ 4$ [mm] $\gdw$ [/mm] $b \ = \ [mm] x_s [/mm] \ = \ ...$
Berechne dann das Rechteck mit den Seiten $b \ = \ [mm] x_s$ [/mm] und $h \ = \ 4$ :
[mm] $A_1 [/mm] \ = \ [mm] A_{\text{Rechteck}} [/mm] \ = \ b*h \ = \ [mm] x_s*4$
[/mm]
Davon abgezogen werden muss die Fläche unterhalb der Kurve und der x-Achse:
[mm] $A_2 [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{x_s}{f_k(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{x_s}{2*e^{k*x} \ dx} [/mm] \ = \ ...$
[mm] $\Rightarrow$ $A_{\text{gesucht}} [/mm] \ = \ [mm] A_1-A_2 [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{2}{k}*\left[2*\ln(x)-1\right]$
[/mm]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Fr 14.04.2006 | | Autor: | m.a.x. |
Erstmal vielen Dank für die Mühe!!!
Dann müsste aber die Gesamt-Fläche insgesamt A=4/k ln2 - 4/k
sein, wenn nämlich der Schnittpunkt 4 mit 2e^kx dann ln2/k ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Fr 14.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo max
> Erstmal vielen Dank für die Mühe!!!
> Dann müsste aber die Gesamt-Fläche insgesamt A=4/k ln2 -
> 4/k
So ne Fläche kommt nicht vor!
> sein, wenn nämlich der Schnittpunkt 4 mit 2e^kx dann ln2/k
> ist.
Der Schnittpkt ist richtig! Welche Gesamtfläche meinst du?
Was hast du denn für das Integral raus? Das Rechteck A1 ist doch 4*ln2/k!
Davon das Integral von 0 bis ln2/k abziehen. Fertig
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Fr 14.04.2006 | | Autor: | m.a.x. |
Danke sehr!!!
Hab wohl vor lauter Abistress die Aufgabe immer wieder falsch angefangen!
;)
Gruß max.
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