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Inneres und Abschluss: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Mo 10.03.2014
Autor: Babybel73

Hallo zusammen

Habe gerade folgende Aufgabe gelöst, und wollte nun wissen, ob dies so richtig ist:

Bestimme das Innere und den Abschluss in [mm] \IR^2 [/mm] der folgenden Mengen:
[mm] M:=\{(x,sin(x^{-1})): x \in \IR \ {0}\} \subset \IR^2 [/mm]
[mm] M_1:=\{(x,y) \in \IR^2: y=x^2\}\subset\IR^2 [/mm]
[mm] M_2:=\{(x,y) \in \IR^2: y>x^2\}\subset\IR^2 [/mm]

Nun zu meiner Lösung:
[mm] M°=M\backslash \partial M_{} \Rightarrow M°=\emptyset [/mm]
[mm] \overline{M}=M \cup \partial M_{} \Rightarrow \overline{M}=M [/mm]

[mm] M_1°=M_1\backslash \partial M_1 \Rightarrow M_1°=\emptyset [/mm]
[mm] \overline{M_1}=M_1 \cup \partial M_1 \Rightarrow \overline{M_1}=M_1 [/mm]

[mm] M_2°=M_2\backslash \partial M_2 \Rightarrow M_2°=M_2 [/mm]
[mm] \overline{M_2}=M_2 \cup \partial M_2 \Rightarrow \overline{M_2}=\{(x,y) \in \IR^2: y\ge x^2\} [/mm]

Ist das so richtig?

        
Bezug
Inneres und Abschluss: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Mo 10.03.2014
Autor: Ladon

Hallo Babybel,

wenn ich deine Notation richtig verstehe, meinst du mit [mm] $M=M\setminus \partial [/mm] M$ das Innere von M, $ int(M) $ .
Die ersten beiden Mengen sind die Bilder von Kurven. Natürlich ist deren Rand die Menge selbst, also gilt: [mm] $int(M)=M\setminus \partial M=M\setminus M=\emptyset$ [/mm] (für [mm] M_1 [/mm] analog). Da [mm] $\partial [/mm] M=M$ bzw. [mm] $\partial M_1=M_1$, [/mm] ist klar, dass auch die anderen Gleichheiten richtig sind.
Die Gleichheiten für [mm] M_2 [/mm] sind auch richtig, da der Rand gerade die Menge ist, wo statt ">" ein "=" in der Menge steht.
Also ist alles richtig ;-)

MfG Ladon


Bezug
                
Bezug
Inneres und Abschluss: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:24 Mo 10.03.2014
Autor: Babybel73

Hallo Ladon

Vielen Dank für deine Antwort! :)

Eigentlich wollte ich M° für int(M) schreiben, aber das hat's mir irgendwie rausgelöscht....


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Inneres und Abschluss: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:24 Di 11.03.2014
Autor: fred97

Wenn

  
$ [mm] M=\{(x,sin(x^{-1})): x \in \IR \setminus \{0\}\} [/mm]  $,

so ist [mm] \overline{M}=M [/mm] nicht richtig !

Denn (0,0) [mm] \in \overline{M}, [/mm] aber (0,0) [mm] \notin [/mm] M.

FRED

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