Inneres Produkt und Norm < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (.,.): [mm] V->\IR [/mm] inneres Produkt auf Vektorraum V
=> [mm] (x,y)=\bruch{1}{4}(\parallel x+y\parallel^2-\parallel x-y\parallel^2)
[/mm]
<=> [mm] \parallel x+y\parallel^2-\parallel x-y\parallel^2=2*\parallel x\parallel^2+2*\parallel y\parallel^2 [/mm] |
Das obere ist die Polarisationsidentität, dass untere die Parallelogrammgleichung.
1.Frage: Welche Norm würde diese Äquivalenz nicht erfüllen?
2.Frage (zum Beweis): z.B (<=), wenn ich [mm] \parallel x+y\parallel^2-\parallel x-y\parallel^2 [/mm] oben einsetze erhalte ich [mm] (x,y)=\bruch{1}{2}(\parallel x\parallel^2+\parallel y\parallel^2)
[/mm]
Darf ich nun [mm] \parallel x\paralell=\wurzel{(x,x)} [/mm] verwenden oder nicht?
Oder muss ich zeigen, wenn die Norm die re. Seite erfüllt, dann lässt sie sich durch ein inneres Produkt erzeugen, indem man zeigt, dass (,) tatsählich ein inneres Produkt ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 Mo 08.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> (.,.): [mm]V->\IR[/mm] inneres Produkt auf Vektorraum V
>
> => [mm](x,y)=\bruch{1}{4}(\parallel x+y\parallel^2-\parallel x-y\parallel^2)[/mm]
>
> <=> [mm]\parallel x+y\parallel^2-\parallel x-y\parallel^2=2*\parallel x\parallel^2+2*\parallel y\parallel^2[/mm]
Das stimmt aber nicht. Parallelogrammgleichung lautet so:
[mm]\parallel x+y\parallel^2+\parallel x-y\parallel^2=2*\parallel x\parallel^2+2*\parallel y\parallel^2[/mm]
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> Das obere ist die Polarisationsidentität, dass untere die
> Parallelogrammgleichung.
>
> 1.Frage: Welche Norm würde diese Äquivalenz nicht
> erfüllen?
>
> 2.Frage (zum Beweis): z.B (<=), wenn ich [mm]\parallel x+y\parallel^2-\parallel x-y\parallel^2[/mm]
> oben einsetze erhalte ich [mm](x,y)=\bruch{1}{2}(\parallel x\parallel^2+\parallel y\parallel^2)[/mm]
>
> Darf ich nun [mm]\parallel x\paralell=\wurzel{(x,x)}[/mm] verwenden
> oder nicht?
>
> Oder muss ich zeigen, wenn die Norm die re. Seite erfüllt,
> dann lässt sie sich durch ein inneres Produkt erzeugen,
> indem man zeigt, dass (,) tatsählich ein inneres Produkt
> ist?
Die Aufgabe ist sehr schlampig formuliert !
Zu tun ist folgendes:
1. Ist (*,*) ein inneres Produkt auf V, so gilt
$ [mm] (x,y)=\bruch{1}{4}(\parallel x+y\parallel^2-\parallel x-y\parallel^2) [/mm] $
und
$ [mm] \parallel x+y\parallel^2+\parallel x-y\parallel^2=2\cdot{}\parallel x\parallel^2+2\cdot{}\parallel y\parallel^2 [/mm] $
für alle x,y [mm] \in [/mm] V.
2. Ist V ein normierter Raum (mit Norm ||*||) und gilt
$ [mm] \parallel x+y\parallel^2+\parallel x-y\parallel^2=2\cdot{}\parallel x\parallel^2+2\cdot{}\parallel y\parallel^2 [/mm] $
für alle x,y [mm] \in [/mm] V,
so setze $ [mm] (x,y):=\bruch{1}{4}(\parallel x+y\parallel^2-\parallel x-y\parallel^2) [/mm] $ (x,y [mm] \in [/mm] V).
Jetzt mußt Du zeigen, dass dadurch ein inneres Produkt auf V def. wird.
FRED
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